Question

数形结合思想是中学数学解题中常用的数学思想，利用这种思想，可以将代数问题转化为几何问题，也可以将几何问题转化为代数问题．通过数形结合将代数与几何完美的结合在一起，可以大大降低解题的难度，提高效率和正确率，甚至还可以达到令人意想不到的效果．教科书中利用几何图形证明乘法公式（a+b）²=a²+2ab+b²的做法，就是一个非常典型的例子：
如图，a、b分别表示一条线段的长度，则a+b可以表示两条线段之和，那么（a+b）²就可以表示正方形的面积．同样，a²、ab、b²也可以表示相应部分的面积，那么利用这种方法，就可以证明公式的正确性．
（1）请请你根据上述材料推导乘法公式（a+b+c）²的展开结果．
（2）若．a₁、a₂、b₁、b₂、c₁、c₂、d₁、d₂均为正数，且a₁+a₂=b₁+b₂=c₁+c₂=d₁+d₂=k，求证：a₂b₁+b₂c₁+c₂d₁+d₂a₁≤k²，并写出等号成立的条件．

Answer 1

考点：完全平方公式的几何背景

专题：

分析：（1）根据题意先画出图形，然后再根据图形得出（a+b+c）²的展开结果．
（2）先画出图形，由图形得出a₂b₁，b₂c₁，c₂d₁，d₂a₁表示4个矩形的面积，它们之和小于正方形的面积，从而得出a₂b₁+b₂c₁+c₂d₁+d₂a₁≤k²，即可证出a₁=a₂=b₁=b₂=c₁=c₂=d₁=d₂成立．

解答：解：（1）如图

由图可得：（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca．

（2）由题意，可以构造边长为k的正方形，

由图可得：a₂b₁，b₂c₁，c₂d₁，d₂a₁表示4个矩形的面积，它们之和小于正方形的面积，
∴a₂b₁+b₂c₁+c₂d₁+d₂a₁≤k²，当a₁=a₂=b₁=b₂=c₁=c₂=d₁=d₂时等号成立．

点评：本题考查对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．