Question

7．如图，将边长为6的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展平后，再将点B折到边CD上，使边AB经过点E，折痕为GH，点B的对应点为M，点A的对应点为N
（1）若CM=x，则CH=-$\frac{1}{12}$x²+3或-$\frac{1}{3}$x²+2x（用含x的代数式表示）；
（2）求折痕GH的长．

Answer 1

分析 （1）利用翻折变换的性质结合勾股定理表示出CH的长即可；
（2）首先得出△EDM∽△MCH，进而求出MC的长，再利用△NEG∽△DEM，求出NG的长，再利用勾股定理得出GH的长．

解答 解：（1）∵CM=x，BC=6，
∴设HC=y，则BH=HM=6-y，
故y²+x²=（6-y）²，
整理得：y=-$\frac{1}{12}$x²+3，
∵∠HMC+∠MHC=90°，∴∠EMD=∠MHC，
∴△EDM∽△MCH，
∴$\frac{ED}{MC}$=$\frac{DM}{CH}$，
∴$\frac{3}{x}$=$\frac{6-x}{HC}$，
解得：HC=-$\frac{1}{3}$x²+2x，
故答案为：-$\frac{1}{12}$x²+3或-$\frac{1}{3}$x²+2x；

（2）方法一：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
设CM=x，由题意可得：ED=3，DM=6-x，∠EMH=∠B=90°，
故∠HMC+∠EMD=90°，
∵∠HMC+∠MHC=90°，∴∠EMD=∠MHC，
∴△EDM∽△MCH，
∴$\frac{ED}{MC}$=$\frac{DM}{CH}$，
即$\frac{3}{x}$=$\frac{6-x}{-\frac{1}{12}{x}^{2}+3}$，
解得：x₁=2，x₂=6（不合题意舍去），
∴CM=2，
∴DM=4，
∴在Rt△DEM中，由勾股定理得：EM=5，
∴NE=MN-EM=6-5=1，
∵∠NEG=∠DEM，∠N=∠D，
∴△NEG∽△DEM，
∴$\frac{NE}{DE}$=$\frac{NG}{DM}$，
∴$\frac{1}{3}$=$\frac{NG}{4}$，
解得：NG=$\frac{4}{3}$，
由翻折变换的性质，得AG=NG=$\frac{4}{3}$，
过点G作GP⊥BC，垂足为P，
则BP=AG=$\frac{4}{3}$，GP=AB=6，
当x=2时，CH=-$\frac{1}{12}$x²+3=$\frac{8}{3}$，
∴PH=BC-HC-BP=6-$\frac{8}{3}$-$\frac{4}{3}$=2，
在Rt△GPH中，GH=$\sqrt{G{P}^{2}+P{H}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$．
方法二：有上面方法得出CM=2，
连接BM，
可得BM⊥GH，
则可得∠PGH=∠HBM，
在△GPH和△BCM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠HGP=∠CBM}\\{GP=BC}\\{∠GPH=∠C}\end{array}\right.$，
∴△GPH≌△BCM（SAS），
∴GH=BM，
∴GH=BM=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$．

点评 此题主要考查了翻折变换的性质以及正方形的性质、相似三角形的判定与性质和勾股定理，正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键．