Question

3．如图，在△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAF的平分线，BE⊥AE
（1）求证：DA⊥AE；
（2）试判断AB与DE是否相等，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质，及∠BAC+∠BAF=180°可求出∠DAE=90°，即可证明DA⊥AE；
（2）因为AB=AC，若要证明AC=DE，可转化为证明AB=DE即可．

解答 （1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，
又∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAF，
∵∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠BAD+∠BAE=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠BAF）=90°，
即∠DAE=90°，
故DA⊥AE；

（2）解：AB=DE，
理由：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，故∠ADB=90°
∵BE⊥AE，
∴∠AEB=90°，∠DAE=90°，
故四边形AEBD是矩形．
∴AB=DE．

点评 本题考查的是角平分线，等腰三角形的性质及矩形的判定定理．有一定的综合性．