Question

如图，在直角坐标系中，A（-1，0），B（0，2），一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴交于点C．
（1）求点C的坐标．
（2）求过点A、B、C三点的抛物线的解析式．
（3）若P点开始运动时，Q点也同时从C点出发，以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动，t秒后，以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形．（点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动），求t的值．
（4）在（2）（3）的条件下，当CQ=CP时，求直线OP与抛物线的交点坐标．

Answer 1

（1）∵A（-1，0），B（0，2），
∴OA=1，OB=2，OB=2OA；
∵∠ABC=90°，易得△ABO∽△BCO，
∴AO：BO=BO：OC，即OC=2OB=4，
∴C（4，0）．

（2）设抛物线方程为y=ax²+bx+c（a≠0），依题意有：

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=2

，
解得

a=- 1 2 b= 3 2 c=2

；
∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+

3

2

x+2．

（3）∵OB=2，OC=4，
∴BC=2

5

；
则：BP=t，CP=2

5

-t，CQ=t；
①CP=CQ，则有：2

5

-t=t，
解得：t=

5

；
②CQ=QP，过Q作QM′⊥BC于M′，则有：
CM′=

1

2

（2

5

-t）；
易证△CQM′∽△CBO，
则：

CQ

CB

=

CM′

OC

，
即

t

2 5

=

1 2 (2 5 -t)

4

，
解得：t=

10

4+ 5

=

40-10 5

11

；
③CP=PQ，过P作PN⊥OC于N，则：
CN=

1

2

CQ=

1

2

t；
易证△CNP∽△COB，则有：

CN

OC

=

CP

CB

，
即

1 2 t

4

=

2 5 -t

2 5

，
解得t=

8 5

4+ 5

=

32 5 -40

11

；
综上所述，当t=

5

或

40-10 5

11

或

32 5 -40

11

时，以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形．

（4）由（3）知：当CP=CQ时，BP=t=

5

=

1

2

BC，即P是BC的中点，
∵B（0，2），C（4，0），
∴P（2，1）；
∴直线OP的解析式为：y=

1

2

x；
联立抛物线的解析式有：

y=- 1 2 x2+ 3 2 x+2 y= 1 2 x

，
解得

x=1+ 5 y= 1+ 5 2

，

x=1- 5 y= 1- 5 2

；
∴直线OP与抛物线的交点为（1+

5

，

1+ 5

2

），（1-

5

，

1- 5

2

）．