Question

18．以坐标原点为圆心，1为半径的圆分别交x，y轴的正半轴于点A，B．；如图，动点P从点A处出发，沿x轴向右匀速运动，与此同时，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动．若点Q的运动速度比点P的运动速度慢，经过1秒后点P运动到点（2，0），此时Q走过的路程弧$\widehat{BQ}$的长为 $\frac{π}{6}$；
（1）求此时点Q的坐标；
（2）此时PQ是否与⊙O相切？请说明理由．
（3）若点Q按照原来的方向和速度继续运动，点P停留在点（2，0）处不动，求点Q再经过5秒后直线PQ被⊙O截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）先求出∠BOQ，再用含30°角的直角三角形的性质求出OC，CQ即可；
（2）用三角函数先求出∠OPQ，再求出∠OQP的度数即可得出结论；
（3）先求出Q点的运动速度，利用垂径定理，勾股定理可以解决．

解答 解：（1）如图1，过点Q作QC⊥OA，设∠BOQ=n，
∵Q走过的路程弧$\widehat{BQ}$的长为 $\frac{π}{6}$，
∴$\frac{nπ•1}{180}$=$\frac{π}{6}$，
∴n=30°，
∴∠BOQ=30°，
在Rt△OCQ中，∠COQ=90°-30°=60°，OQ=1，
∴OC=$\frac{1}{2}$，CQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴Q（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
（2）如图1，∵P（2，0），
∴OP=2，
∴CP=OP-OC=$\frac{3}{2}$，
在Rt△COP中，tan∠OPQ=$\frac{CQ}{CP}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴锐角∠CPQ=30°，
∴∠OPQ+∠POQ=90°，
∴∠OQP=90°，
∴OQ⊥PQ，
∵点Q在⊙O上，
∴PQ与⊙O相切；
（3）由（1）可知点Q运动1秒时经过的弧长所对的圆心角为30°，
若Q按照原来的方向和速度继续运动，那么再过5秒，则点Q再绕点O顺时针旋转150°，
即：Q点落在⊙O与y轴负半轴的交点处（如图2）
．设直线PQ与⊙O的另外一个交点为D，
过O作OC⊥QD于点C，则C为QD的中点．
∵∠QOP=90°，OQ=1，OP=2，
∴QP=$\sqrt{5}$，
∵$\frac{1}{2}$OQ•OP=$\frac{1}{2}$QP•OC，
∴OC=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵OC⊥QD，OQ=1，
∴QC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴QD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，切线的判定，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数，解本题的关键是判断出点PQ是⊙O的切线和点Q再过5秒时的位置，是一道涉及知识点比较多的中考常考题．