Question

3．在湖边高出水面50 m的山顶A处看见一艘飞艇停留在湖面上空某处，观察到飞艇底部标志P处的仰角为45°，又观其在湖中之像的俯角为60°．则飞艇离开湖面的高度（　　）

• A． $25\sqrt{3}+75$
• B． $50\sqrt{3}+50$
• C． $75\sqrt{3}+75$
• D． $50\sqrt{3}+100$

Answer 1

分析 设AE=x，则PE=AE=x，根据山顶A处高出水面50m，得出OE=50，OP′=x+50，根据∠P′AE=60°，得出P′E=$\sqrt{3}$x，从而列出方程，求出x的值即可．

解答 解：设AE=xm，在Rt△AEP中∠PAE=45°，则∠P=45°，
∴PE=AE=x，
∵山顶A处高出水面50m，
∴OE=50m，
∴OP′=OP=PE+OE=x+50，
∵∠P′AE=60°，
∴P′E=tan60°•AE=$\sqrt{3}$x，
∴OP′=P′E-OE=$\sqrt{3}$x-50，
∴x+50=$\sqrt{3}$x-50，
解得：x=50（$\sqrt{3}$+1）（m），
∴PO=PE+OE=50（$\sqrt{3}$+1+50=50$\sqrt{3}$+100（m），
即飞艇离开湖面的高度是（50$\sqrt{3}$+100）m；
故选：D．

点评 本题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是俯角、仰角的定义，关键是能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．