Question

过矩形ABCD对对角线AC的中点O作EF⊥AC分别交AB、DC于E、F，点G为AE的中点，3OG=DC，则∠AOG=

 

．

Answer 1

考点：矩形的性质,线段垂直平分线的性质,直角三角形斜边上的中线

专题：

分析：连接EC，根据线段垂直平分线求出AE=CE，根据直角三角形斜边上的中线性质求出AE=CE=2OG=2BE，求出∠BEC=60°，求出∠ECA=30°，即可求出答案．

解答：解：
连接CE，
∵S四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，DC=AB，
∵3OG=DC，
∴AB=AE+BE=3OG，
∵EF⊥AC，O为AC中点，
∴AE=CE，∠AOE=90°，
∵点G为AE的中点，
∴AE=2OG，
∴BE=OG=

1

2

CE，
∵∠B=90°，
∴∠ECB=30°，∠CEB=60°，
∵AE=CE，
∴∠ECA=∠CAE=

1

2

∠CEB=30°，
∵O为AC中点，G为AE中点，
∴OG∥EC，
∴∠AOG=∠ECA=30°，
故答案为：30°．

点评：本题考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形性质，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形性质，三角形的中位线，平行线的性质的应用，题目综合性比较强，难度适中．