Question

15．已知，如图，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象与一次函数y=ax+b的图象相交于点A（1，4）、B（-4，n），
（1）试确定这两个函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把A的坐标代入能求出反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数解析式求出B的坐标，把A、B的坐标代入求出一次函数的解析式；
（2）设直线与y轴的交点为D，求出D的坐标，分别求出△AOD和△BOD的面积，即可求出答案．
（3）根据函数的图象即可得出反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．

解答 解：（1）∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象过点A（1，4），
∴4=$\frac{k}{1}$，即k=4，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{4}{x}$．
∵反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象过点B（-4，n），
∴n=$\frac{4}{-4}$=-1，
∴B（-4，-1）．
∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点A（1，4）和点B（-4，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{-4k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴一次函数的解析式为：y=x+3．

（2）设直线与y轴的交点为D，
∵令x=0，则y=3，
∴D（0，3），
即DO=3，
∴S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD
=$\frac{1}{2}$OD•1+$\frac{1}{2}$OD•4
=$\frac{15}{2}$．

（3）由图象可知：当x＜-4或0＜x＜1时，反比例函数的值大于一次函数的值．

点评 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合应用