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3.如图,等腰直角△ABC与等腰直角△CDE,连接AD、BE,M为AD中点,连接MC并延长交BE于N.
(1)求证MN⊥BE;
(2)在图中请写出你发现的其他结论,并加以证明.

分析 (1)过点A作AF∥CD交CM的延长线于点F,先利用ASA证明△AFM≌△MCD,进而得到AF=CD,再利用SAS证明△AFC≌△BEC,进而得到∠F=∠BEC,再根据角角之间的关系得到∠CNB=90°,于是结论得证;
(2)结论有∠ACM=∠CBE,根据(1)结论△AFC≌△BEC即可得到.

解答 解:(1)过点A作AF∥CD交CM的延长线于点F,
∴∠F=∠FCD,且AM=MD,∠FMA=∠CMD,
在△AFM和△MCD中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠FCD}\\{AM=MD}\\{∠FMA=∠CMD}\end{array}\right.$,
∴△AFM≌△MCD,
∴AF=CD,
∵△ABC,△CDE是等腰直角三角形,
∴BC=AC,DC=CE,∠ACB=∠DCE=90°,
∴AF=CD=CE,∠ACD+∠BCE=180°,
∵AF∥CD,
∴∠ACD+∠CAF=180°,
∴∠FAC=∠BCE,CE=AF,BC=AC,
在△AFC和△BEC,
$\left\{\begin{array}{l}{CE=AF}\\{∠FAC=∠BCE}\\{BC=AC}\end{array}\right.$,
∴△AFC≌△BEC,
∴∠F=∠BEC,
∵∠NCE+∠FCD=180°-∠DCE=90°,
∴∠NCE+∠CEB=90°,
∴∠CNB=90°,
∴MN⊥BE;
(2)∠ACM=∠CBE.
∵△AFC≌△BEC,
∴∠ACM=∠CBE.

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质的知识,解答本题的关键是利用ASA证明△AFM≌△MCD,利用SAS证明△AFC≌△BEC,此题有一定的难度.

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