Question

【题目】问题背景：数学活动课上老师出示问题，如图1，有边长为a的正方形纸片一张，三边长分别为a、b、c的全等直角三角形纸片两张，且b ．请你用这三张纸片拼出一个图案，并将这个图案的某部分进行旋转或平移变换之后，提出一个问题（可以添加其他条件，例如可以给出a、b的值等等）．
解决问题：

下面是两个学习小组拼出图案后提出的问题，请你解决他们提出的问题．
（1）“爱心”小组提出的问题是：如图2，将△DFC绕点F逆时针旋转，使点D恰好落在AD边上的点D′处，猜想此时四边形AEFD′是什么特殊四边形，并加以证明；
（2）“希望”小组提出的问题是：如图3，点M为BE中点，将△DCF向左平移至DF恰好过点M时停止，且补充条件a=6，b=2，求△DCF平移的距离．
自主创新：
（3）请你仿照上述小组的同学，在下面图4的空白处用实线画出你拼出的图案，用虚线画出变换图，并在横线处写出你提出的问题．（不必解答）
你提出的问题： ．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：作FG⊥AD，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC=∠C=90°，AD∥BC，

∴四边形GFCD是矩形，

∴GD=FC=b，

∴FD=FD′，

∴D′G=DG=b，

∴AD′=AD﹣2DG=a﹣2b，

∵BE=FC=b，

∴EF=BC﹣2FC=a﹣2b，

∴AD′=EF，

∵AD′∥EF，

∴四边形AEFD′是平行四边形

（2）

解：由平移知，∠C′D′F′=∠CDF=∠EBC，

∵∠C′D′F′+∠BF′M=90°，

∴∠MBF′+∠BF′M=90°，

∴∠BMF′=90°，

由勾股定理得，BE= =2 ，

∵点M为BE中点，

∴BM= ，

∵∠BMF′=∠BCE，∠MBF′=∠CBE，

∴△BMF′∽△BCE，

∴ ，

∴ ，

∴BF′= ，

∵BF=BC+CF=8，

∴F′F=BF﹣BF′= ，

∴△DCF平移得距离为 ；

提出的问题：

如图，

∵MN=BC=b=6，NF=BF′=a=2，

∴FC=BE=F′N=1，

∴EF′=1，

∴EH=F′H= EF′= ，

∵GH∥AB，

∴

∴ ，

∴GH= ，

∴S△GEF′= ×EF′×GH=

（3）当a=6，b=2时，点M，N分别为AD，BC中点，将△MNF沿CB方向移动，使点M落在点A处时，在AB上，AF′交ME于G，求△GEF的面积．
【解析】（1）由正方形的性质得结论判断出四边形GFCD为矩形，然后用平行且相等判断出四边形AEFD′是平行四边形；（2）先判断出△BMF为直角三角形，再根据勾股定理求出BE，判断出△BMF′∽△BCE，用比例式计算即可．
提出的问题：用平移得特征得EH=F′H= EF′= ，在用三角形的面积公式计算．
【考点精析】关于本题考查的平行四边形的性质和平行四边形的判定，需要了解平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；两组对边分别平行的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形才能得出正确答案．