Question

15．如图，正方形ABCD的边长为3cm，P，Q分别从B，A出发沿BC，AD方向运动，P点的运动速度是1cm/秒，Q点的运动速度是2cm/秒，连接A，P并过Q作QE⊥AP垂足为E．
（1）求证：△ABP∽△QEA；
（2）当运动时间t为何值时，△ABP≌△QEA；
（3）设△QEA的面积为y，用运动时刻t表示△QEA的面积y（不要求考t的取值范围）．（提示：解答（2）（3）时可不分先后）

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质证明即可；
（2）根据全等三角形的判定和性质，利用勾股定理解答即可；
（3）根据相似三角形的性质得出函数解析式即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为正方形；
∴∠BAP+∠QAE=∠B=90°，
∵QE⊥AP，
∴∠QAE+∠EQA=∠AEQ=90°，
∴∠BAP=∠EQA，∠B=∠AEQ，
∴△ABP∽△QEA；

（2）∵△ABP≌△QEA；
∴AP=AQ（全等三角形的对应边相等）；
在Rt△ABP与Rt△QEA中根据勾股定理得AP²=3²+t²，AQ²=（2t）²
即3²+t²=（2t）²
解得t₁=$\sqrt{3}$，t₂=-$\sqrt{3}$（不符合题意，舍去）
答：当t取$\sqrt{3}$时△ABP与△QEA全等．

（3）由（1）知△ABP∽△QEA；
∴$\frac{y}{{S}_{△ABP}}$=（$\frac{AQ}{AP}$）²
∴$\frac{y}{\frac{1}{2}×3t}$=（$\frac{2t}{\sqrt{{3}^{2}{+t}^{2}}}$）²
整理得：y=$\frac{6{t}^{3}}{9+{t}^{2}}$．

点评 本题主要考查的是相似三角形的综合应用，解答本题主要应用了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理是解题的关键．