我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面,经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形,不妨简称为“锅线”,锅口直径为6dm,锅深3dm,锅盖高1dm(锅口直径与锅盖直径视为相同),建立直接坐标系如图①所示,如果把锅纵断面的抛物线的记为C1,把锅盖纵断面的抛物线记为C2.
(1)求C1和C2的解析式;
(2)如图②,过点B作直线BE:y=x﹣1交C1于点E(﹣2,﹣),连接OE、BC,在x轴上求一点P,使以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似,求出P点的坐标;
(3)如果(2)中的直线BE保持不变,抛物线C1或C2上是否存在一点Q,使得△EBQ的面积最大?若存在,求出Q的坐标和△EBQ面积的最大值;若不存在,请说明理由.
考点:
二次函数综合题。
专题:
压轴题;分类讨论。
分析:
(1)已知A、B、C、D四点坐标,利用待定系数法即可确定两函数的解析式.
(2)根据直线BE:y=x﹣1知,该直线必过(0,﹣1)点,那么∠EBO=∠CBO,若以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似,那么夹这组对应角的对应边必成比例,先求出BC、BO、BE的长,然后分情况根据线段间的比例关系求出BP的长,进而得到OP的长,即可确定P点坐标.
(3)△EBQ中,BE长为定值,若以BE为底,当△EBQ的面积最大时,Q到直线BE的距离最大;由于点Q可能在抛物线C1或C2上,因此两种情况都要解一下,最后通过比较得到能使△EBQ面积最大的Q点.首先作直线l∥BE,分别令直线l与抛物线C1、C2有且仅有一个交点,那么符合条件的Q点必在这两个交点中,先求出这两个交点分别到直线BE的距离,距离大者符合条件,由此可得到Q点坐标和△EBQ的面积最大值.
解答:
解:(1)由于抛物线C1、C2都过点A(﹣3,0)、B(3,0),可设它们的解析式为:y=a(x﹣3)(x+3);
抛物线C1还经过D(0,﹣3),则有:
﹣3=a(0﹣3)(0+3),a=
即:抛物线C1:y=x2﹣3(﹣3≤x≤3);
抛物线C2还经过A(0,1),则有:
1=a(0﹣3)(0+3),a=﹣
即:抛物线C2:y=﹣x2+1(﹣3≤x≤3).
(2)由于直线BE:y=x﹣1必过(0,﹣1),所以∠CBO=∠EBO(tan∠CBO=tan∠EBO=);
由E点坐标可知:tan∠AOE≠,即∠AOE≠∠CBO,所以它们的补角∠EOB≠∠CBx;
若以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似,只需考虑两种情况:
①∠CBP1=∠EBO,且OB:BE=BP1:BC,即:
3:=BP1:,得:BP1=,OP1=OB﹣BP1=;
∴P1(,0);
②∠P2BC=∠EBO,且BC:BP2=OB:BE,即:
:BP2=3:,得:BP2=,OP2=BP2﹣OB=;
∴P2(﹣,0).
综上,符合条件的P点有:P1(,0)、P2(﹣,0).
(3)如图,作直线l∥直线BE,设直线l:y=x+b;
①当直线l与抛物线C1只有一个交点时:
x+b=x2﹣3,即:x2﹣x﹣(3b+9)=0
∴该交点Q2(,﹣);
Q2到直线 BE:x﹣y﹣1=0 的距离:==;
②当直线l与抛物线C2只有一个交点时:
x+b=﹣x2+1,即:x2+3x+9b﹣9=0
∴该交点Q1(﹣,);
Q1到直线 BE:x﹣y﹣1=0 的距离:=;
∴符合条件的Q点为Q1(﹣,);
△EBQ的最大面积:Smax=×BE×=.
点评:
考查了二次函数综合题.该题的难度和计算量都比较大,涉及了函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、图形面积的解法等重点知识;解答(2)题时,应注意分不同的对应边来进行讨论,以免漏解.(3)的难度较大,点到直线的距离公式【点(x0,y0)到直线(Ax+By+C=0)的距离为:d=】是需要记住的内容.另外,题目在设计时结合了一定的生活元素,形式较为新颖.
科目:初中数学 来源: 题型:
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科目:初中数学 来源:中考真题 题型:解答题
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科目:初中数学 来源:2012年初中毕业升学考试(湖南岳阳卷)数学(带解析) 题型:解答题
我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面,经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形,不妨简称为“锅线”,锅口直径为6dm,锅深3dm,锅盖高1dm(锅口直径与锅盖直径视为相同),建立直接坐标系如图①所示,如果把锅纵断面的抛物线的记为C1,把锅盖纵断面的抛物线记为C2.
(1)求C1和C2的解析式;
(2)如图②,过点B作直线BE:y=x﹣1交C1于点E(﹣2,﹣),连接OE、BC,在x轴上求一点P,使以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似,求出P点的坐标;
(3)如果(2)中的直线BE保持不变,抛物线C1或C2上是否存在一点Q,使得△EBQ的面积最大?若存在,求出Q的坐标和△EBQ面积的最大值;若不存在,请说明理由.
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科目:初中数学 来源:2012年湖南省岳阳市中考数学试卷(解析版) 题型:解答题
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