[题目]截长补短法.是初中几何题中一种添加辅助线的方法.也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等.补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起.从而解决问题．(1)如图1.△ABC是等边三角形.点D是边BC下方一点.∠BDC＝120°.探索线段DA.DB.DC之间的数量关系,(2)如图2.△ABC为等� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】（初步探索）

截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．

（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系；

（灵活运用）

（2）如图2，△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE＝60°．求证：CD＋CE＝CA；

（延伸拓展）

（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE＋FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．

【答案】（1）DA=DC+DB，证明见详解；（2）见详解；（3）∠EAF=，证明见详解.

【解析】

（1）由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证△ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB；

（2）首先在AC上截取CM=CD，由△ABC为等边三角形，易得△CDM是等边三角形，继而可证得△ADM≌△EDC，即可得AM=EC，则可证得CD+CE=CA；

（3）在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，进而推导得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出结论．

（1）如图1，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵∠BDC=120°，

∴∠ABD+∠ACD=180°，

又∵∠ACE+∠ACD=180°，

∴∠ABD=∠ACE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，

∵∠BAC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，

∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE=60°，

∴△ADE是等边三角形，

∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，

即DA=DC+DB；

（2）证明：在AC上截取CM=CD，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，

∴△CDM是等边三角形，

∴MD=CD=CM，∠CMD=∠CDM=60°，

∴∠AMD=120°，

∵∠ADE=60°，

∴∠ADE=∠MDC，

∴∠ADM=∠EDC，

∵直线a∥AB，

∴∠ACE=∠BAC=60°，

∴∠DCE=120°=∠AMD，

在△ADM和△EDC中，

∴△ADM≌△EDC(ASA)，

∴AM=EC，

∴CA=CM+AM=CD+CE；

即CD+CE=CA.

（3）∠EAF=；

证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，

∴∠ADC=∠ABE，

又∵AB=AD，

∴△ADG≌△ABE（SAS），

∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，

∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，

∴△AEF≌△AGF（SSS），

∴∠FAE=∠FAG，

∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，

∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）=360°，

∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）=360°，

即2∠FAE+∠DAB=360°，

∴∠EAF=.

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