Question

15．我们知道：光线反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角．
如图①，EF为一镜面，AO为入射光线，入射点为点O，ON为法线（过入射点O且垂直于镜面EF的直线），OB为反射光线，此时反射角∠BON等于入射角∠AON．
（1）如图1，若∠AOE=65°，则∠BOF=65°；若∠AOB=80°，则∠BOF=50°；
（2）两平面镜OP、OQ相交于点O，一束光线从点A出发，经过平面镜两次反射后，恰好经过点B．
（Ⅰ）如图2，当∠POQ为多少度时，光线AM∥NB？请说明理由．
（Ⅱ）如图3，若两条光线AM、NB相交于点E，请探究∠POQ与∠MEN之间满足的等量关系，并说明理由．
（Ⅲ）如图4，若两条光线AM、NB所在的直线相交于点E，∠POQ与∠MEN之间满足的等量关系是∠E=2∠O
（直接写出结果）

Answer 1

分析 （1）根据反射角等于入射角，可得∠AON=∠BON，根据NO⊥EF，即可得到∠AOE=∠BOF；根据反射角等于入射角，可得∠BON=$\frac{1}{2}$∠AOB=40°，再根据NO⊥EF，即可得出∠BOF的度数；
（2）（Ⅰ）设∠AMP=∠NMO=α，∠BNQ=∠MNO=β，根据∠AMN+∠BNM=180°，可得α+β=90°，再根据三角形内角和定理进行计算即可；
（Ⅱ）设∠AMP=∠NMO=α，∠BNQ=∠MNO=β，根据三角形内角和定理可得α+β=180°-∠O，再根据三角形内角和定理可得可得∠MEN=2（α+β）-180°，进而得出∠MEN+2∠O=180°；
（Ⅲ）设∠AMP=∠NMO=α，∠BNO=∠MNQ=β，根据三角形外角性质可得∠E=2（β-α），再根据三角形外角性质可得∠O=β-α，进而得出∠E=2∠O．

解答 解：（1）如图1，根据反射角等于入射角，可得∠AON=∠BON，
∵NO⊥EF，
∴∠AOE=∠BOF=65°；
根据反射角等于入射角，可得∠BON=$\frac{1}{2}$∠AOB=40°，
∵NO⊥EF，
∴∠BOF=90°-40°=50°；
故答案为：65，50；

（2）（Ⅰ）如图2，设∠AMP=∠NMO=α，∠BNQ=∠MNO=β，
当AM∥BN时，∠AMN+∠BNM=180°，
即180°-2α+180°-2β=180°，
∴180°=2（α+β），
∴α+β=90°，
∴△MON中，∠O=180°-∠NMO-∠MNO=180°-（α+β）=90°，
∴当∠POQ为90度时，光线AM∥NB；
（Ⅱ）如图3，设∠AMP=∠NMO=α，∠BNQ=∠MNO=β，
∵△MON中，∠O=180°-α-β，
∴α+β=180°-∠O，
∵∠EMN=180°-2α，∠ENM=180°-2β，
∴△MEN中，∠MEN=180°-∠EMN-∠ENM=180°-（180°-2α）-（180°-2β）=2（α+β）-180°，
∴∠MEN=2（180°-∠O）-180°=180°-2∠O，
即∠MEN+2∠O=180°；
（Ⅲ）如图4，设∠AMP=∠NMO=α，∠BNO=∠MNQ=β，
∴∠AMN=180°-2α，∠MNE=180°-2β，
∵∠AMN是△MEN的外角，
∴∠E=∠AMN-∠MNE=（180°-2α）-（180°-2β）=2（β-α），
∵∠MNQ是△MNO的外角，
∴∠O=∠MNQ-∠NMO=β-α，
∴∠E=2∠O．
故答案为：∠E=2∠O．

点评 本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理的综合应用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．