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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4cm，实验操作：把一等腰直角三角尺45°角的顶点（记为点D），放在BC边上滑动（不与B，C重合），让该角的一边始终过点A，另一边交AC于点E，选取运动过程中的两个瞬间，用量角器分别测出∠BDA与∠CED的大小，并填入下表：
      ∠BDA ∠CED
    第一次测量结果    
    第二次测量结果    
    探索：（1）观察实验结果，猜想∠BDA与∠CED的大小有何关系？并证明你的结论；
    （2）设BD=x，AE=y，试求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
    （3）当点D在BC边上滑动时，△ADE能否成为等腰三角形？若能，求出点D的位置；若不能，请说明理由．（图1供实验操作用，图2备用）
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    分析：（1）由三角形的外角的定义、三角形的内角和、等腰直角三角形的性质解决第一问；
    （2）证明△ABD和△DCE相似，利用三角形相似的性质可以求出y关于x的函数关系式；
    （3）利用△ABD和△DCE始终相似，分AD=AE，AD=DE，AE=DE三种情况讨论，问题得以解决．
    解答：解：（1）猜想∠BDA=∠CED．
    证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，
    ∴∠B=∠C=45°，
    ∵∠ADC=∠B+∠1=45°+∠2，
    ∴∠1=∠2，
    ∵∠BDA=180°-∠1-∠B，∠CED=180°-∠2-∠C，
    ∴∠CED=∠BDA；

    （2）由（1）知：∠BDA=∠CED，∠B=∠C，
    ∴△ABD∽△DCE，
    ∴
    BD
    CE
    =
    AB
    DC
    ，
    即
    x
    4-y
    =
    4
    4
    		2
    -x
    ，
    ∴y=
    1
    4
    x2    -
    		2
    x+4（0＜x＜4
    		2
    ）．

    （3）假设能，分三种情况讨论：
    ①当AD=AE时，∠AED=∠ADE=45°，所以∠DAE=90°，
    此时点D与B重合，这与已知矛盾，所以这种情况不存在；
    ②当AD=DE时，由△ABD∽△DCE得，
    AD
    DE
    =
    BD
    CE
    =1，
    ∴
    x
    4-y
    =1，
    即4-（
    1
    4
    x2    -
    		2
    x+4）=x，
    解得x1=4
    		2
    -4，x2=0（舍去），
    即BD=4
    		2
    -4；
    ③当AE=DE时，∠DAE=∠ADE=45°，又∠BAC=90°，
    ∴∠1=∠DAE=45°，
    ∴BD=
    1
    2
    BC=2
    		2
    ；
    综上所知当BD=4
    		2
    -4或2
    		2
    时，△ADE能成为等腰三角形．
    点评：本题考查了三角形的外角的定义、三角形的内角和、等腰直角三角形的性质、三角形相似的判定与性质，运用等腰三角形的性质渗透分类讨论思想．
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    a
    sinA
    C、acosA
    D、
    a
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