Question

如图，O是△ABC的外心，弦AB的垂直平分线与AB和AC分别相交于点M、N，与BC边的延长线相交于点P，求证：OA²=ON•OP．

Answer 1

证明：连接OB；
∵PM垂直平分AB，
∴OA=OB，AM=BM，OM⊥AB；
∴∠AOM=∠BOM=

1

2

∠AOB；
∵∠ACB=

1

2

∠AOB，∴∠ACB=∠AOM；
∴∠NAO+∠ANO=∠P+∠PNC；
∵∠PNC=∠ANO，∴∠P=∠NAO；
∵∠AOM=∠MOB，
∴∠AON=∠BOP；
∴△ANO∽△PBO，
∴

ON

OB

=

OA

OP

，即OA•OB=OP•ON；
∵OA=OB，
∴OA²=ON•OP．