Question

如图已知抛物线y=mx²+nx+p与y=x²+6x+5关于y轴对称，并与y轴交于点M，与x轴交于点A和B．
（1）求出y=mx²+nx+p的解析式，试猜想出一般形式y=ax²+bx+c关于y轴对称的二次函数解析式（不要求证明）；
（2）若AB中点是C，求sin∠CMB；
（3）如果一次函数y=kx+b过点M，且于y=mx²+nx+p相交于另一点N（i，j），如果i≠j，且i²-i+z=0和j²-j+z=0，求k的值．

Answer 1

分析：（1）抛物线y=mx²+nx+p与y=x²+6x+5关于y轴对称，知关于y轴对称x变为-x，y轴值不变，所以易得y=x²+6（-x）+5，即对称后的表达式为y=ax²+bx+c，关于y轴对称只要把x变为-x就可以了；
（2）作辅助线过0作OE⊥MB，把∠CMB转化到直角三角形中计算，就行了；
（3）根据已知关系解方程组得b值，最后待定系数求出k的值．

解答：解：（1）抛物线的解析式是y=x²-6x+5，y=ax²+bx+c关于y轴对称的二次函数解析式为：y=ax²-bx+c．

（2）当y=0时x²-6x+5=0x₁=1x₂=5所以A（1，0）B（5，0）C是AB的中点所以C（3，0）又因为OB=OM=5?△OMB是等腰△过0作OE⊥MB?OE∥CD因为∠EOB=45度，所以∠DCB=45度?CD=

2

Rt△OMC中OM=5，OC=3所以MC=

52+32

=

34

，
∴sin∠CMB=

CD

MC

=

2

34

=

17

17

．

（3）

i2-i+z=0 j2-j+z=0

，即

i=j(舍) j=1-i

，
又因为N在y=kx+b上
又∵j=ki+bM在y=kx+b上，
∴b=5，
∴j=ki+5?1-i=ki+5?k=-1-

4

i

，
又∵N在y=x²-6x+5上，
所以

j=i2-6i+5 j=1-i

，
即

i1=1 i2=4

，即

k1=-5 k2=-2

．

点评：此题考查函数图象对称问题和函数性质，运用转化思想把角放到直角三角形里解，点在函数上用待定系数求出各点坐标，从而求出k值，方法简单，过程较复杂．