Question

唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题--将军饮马问题：
如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？
做法如下：如图1，从B出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取B关于河岸的对称点B′，连接AB′，与河岸线相交于P，则P点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到P，饮马之后，再由P沿直线走到B，所走的路程就是最短的．
（1）观察发现
再如图2，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，点E、F是底边AD与BC的中点，连接EF，在线段EF上找一点P，使BP+AP最短．
作点B关于EF的对称点，恰好与点C重合，连接AC交EF于一点，则这点就是所求的点P，故BP+AP的最小值为

2

3

．
（2）实践运用
如图3，已知⊙O的直径MN=1，点A在圆上，且∠AMN的度数为30°，点B是弧AN的中点，点P在直径MN上运动，求BP+AP的最小值．
（3）拓展迁移
如图4，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
①求这条抛物线所对应的函数关系式；
②在抛物线的对称轴直线x=1上找到一点M，使△ACM周长最小，请求出此时点M的坐标与△ACM周长最小值．（结果保留根号）

Answer 1

分析：（1）联系题干给出的信息提示，在等腰梯形ABCD中，B、C关于直线EF对称，所以BP+AP的最小值应为线段AC的长，所以只需求出AC长即可；梯形ABCD中，AD∥BC，所以同旁内角∠BAD、∠ABC互补，已知∠BAD=∠D=120°，所以∠ABC=60°，在等腰△ADC中（AD=CD=2），易求得底角∠DAC=30°，此时可以发现△BAC是含30°角的特殊直角三角形，已知AB的长，则线段AC的长可得，由此得解．
（2）延续上面的思路，先作点A关于直径MN的对称点C，连接BC，那么BC与MN的交点即符合点P的要求，BP+AP的最小值应是弦BC的长；已知点B是劣弧AN的中点，所以圆周角∠AMN=

1

2

∠AON=∠BON=30°；点A、C关于直径MN对称，那么

CN

=

AN

，因此∠CON=∠AON=60°，由此可以看出△BOC是一个等腰直角三角形，已知⊙O的直径可得半径长，则等腰直角三角形的斜边（即BP+AP的最小值BC长）可求．
（3）①已知抛物线对称轴x=

b

-2a

=1，以及点A、C的坐标，由待定系数法能求出抛物线的解析式；
②△ACM中，点A、C的坐标已确定，所以边AC的长是定值，若△ACM的周长最小，那么AM+CM的值最小，所以此题的思路也可以延续上面两题的思路；过点C作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，根据抛物线的对称性点D的坐标易得，首先利用待定系数法求出直线AD的解析式，那么直线AD与抛物线对称轴的交点就是符合条件的点M；在求出点A、C、D三点的坐标后，线段AC、AD的长可得，所以△ACM的周长最小值=AC+AD（其中AD为AM+CM的最小值）．

解答：解：（1）在等腰梯形ABCD中，∵AD∥BC，且∠BAD=∠D=120°，
∴∠ABC=60°；
在△ADC中，AD=CD=2，∠D=120°，所以∠DAC=∠DCA=30°；
∴∠BAC=∠BAD-∠DAC=120°-30°=90°，即△BAC为直角三角形；
在Rt△BAC中，∠ABC=60°，∠BCA=90°-60°=30°，AB=2，所以AC=AB•tan60°=2

3

；
由于B、C关于直线EF对称，根据阅读资料可知BP+AP的最小值为线段AC的长，即2

3

．

（2）如图（2），作点A关于直径MN的对称点C，连接BC，则BC与直径MN的交点为符合条件的点P，BC的长为BP+AP的最小值；
连接OA，则∠AON=2∠AMN=60°；
∵点B是

AN

的中点，
∴∠BON=

1

2

∠AON=30°；
∵A、C关于直径MN对称，
∴

CN

=

AN

，则∠CON=∠AON=60°；
∴∠BOC=∠BON+∠CON=90°，又OC=OB=

1

2

MN=

1

2

，
在等腰Rt△BOC中，BC=

2

OB=

2

2

；
即：BP+AP的最小值为

2

2

．

（3）①依题意，有：

b -2a =1 a-b+c=0 c=-3

，解得

a=1 b=-2 c=-3

∴抛物线的解析式：y=x²-2x-3；
②取点C关于抛物线对称轴x=1的对称点D，根据抛物线的对称性，得：D（2，-3）；
连接AD，交抛物线的对称轴于点M，如图（3）-②；
设直线AD的解析式为y=kx+b，代入A（-1，0）、D（2，-3），得：

-k+b=0 2k+b=-3

，解得

k=-1 b=-1

∴直线AD：y=-x-1，M（1，-2）；
∴△ACM的周长最小值：l_min=AC+AD=

10

+3

2

．

点评：此题主要考查了：等腰梯形的性质、圆周角定理、解直角三角形、利用待定系数法确定二次函数解析式等综合知识；题目的三个小题都是题干阅读信息的实际应用，解题的关键是阅读信息中得到的结论，这就要充分理解轴对称图形的性质以及两点间线段最短的具体含义．