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    如图，△OAB是边长为2+的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴正方向上，将△OAB折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF．
    （1）当A′E∥x轴时，求点A′和E的坐标；
    （2）当A′E∥x轴，且抛物线y=-x2+bx+c经过点A′和E时，求抛物线与x轴的交点的坐标；
    （3）当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由．

    【答案】分析：（1）当A′E∥x轴时，△A′EO是直角三角形，可根据∠A′OE的度数用O′A表示出OE和A′E，由于A′E=AE，且A′E+OE=OA=2+，由此可求出OA′的长，也就能求出A′E的长．据此可求出A′和E的坐标；
    （2）将A′，E点的坐标代入抛物线中，即可求出其解析式．进而可求出抛物线与x轴的交点坐标；
    （3）根据折叠的性质可知：∠FA′E=∠A，因此∠FA′E不可能为直角，因此要使△A′EF成为直角三角形只有两种可能：
    ①∠A′EF=90°，根据折叠的性质，∠A′EF=∠AEF=90°，此时A′与O重合，与题意不符，因此此种情况不成立．
    ②∠A′FE=90°，同①，可得出此种情况也不成立．
    因此A′不与O、B重合的情况下，△A′EF不可能成为直角三角形．
    解答：解：（1）由已知可得∠A′OE=60°，A′E=AE，
    由A′E∥x轴，得△OA′E是直角三角形，
    设A′的坐标为（0，b），
    AE=A′E=b，OE=2b，b+2b=2+，
    所以b=1，A′、E的坐标分别是（0，1）与（，1）．

    （2）因为A′、E在抛物线上，
    所以，
    所以，
    函数关系式为y=-x2+x+1，
    由-x2+x+1=0，
    得x1=-，x2=2，
    与x轴的两个交点坐标分别是（，0）与（，0）．

    （3）不可能使△A′EF成为直角三角形．
    ∵∠FA′E=∠FAE=60°，
    若△A′EF成为直角三角形，只能是∠A′EF=90°或∠A′FE=90°
    若∠A′EF=90°，利用对称性，则∠AEF=90°，
    A、E、A三点共线，O与A重合，与已知矛盾；
    同理若∠A′FE=90°也不可能，
    所以不能使△A′EF成为直角三角形．
    点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、直角三角形的判定和性质等知识点，综合性较强．
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    精英家教网如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y=-
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    x    +m与x轴交于点E．
    （1）求点E的坐标；
    （2）求过A、O、E三点的抛物线解析式；
    （3）若点P是（2）中求出的抛物线AE段上一动点（不与A、E重合），设四边形OAPE的面积为S，求S的最大值．

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    如图，△OAB是边长为4+2
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    的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴的正半轴上．将△精英家教网OAB折叠，使点A与OB边上的点P重合，折痕与OA、AB的交点分别是E、F．如果PE∥x轴，
    （1）求点P、E的坐标；
    （2）如果抛物线y=-
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    x2+bx+c经过点P、E，求抛物线的解析式．

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    		3
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    （1）当A′E∥x轴时，求点A′和E的坐标；
    （2）当A′E∥x轴，且抛物线y=-
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    （3）当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？精英家教网若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由．

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    		3
    的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴的正方向上，将△OAB折叠，使点A落在OB边上，记为A′，折痕为EF．
    （1）当A′E∥x轴时，求点A'的坐标和直线A′F所对应的函数关系式；
    （2）在OB上是否存在点A′，使四边形AFA′E是菱形？若存在，请求出此时点A′的坐标；若不存在，请说明理由；
    （3）当点A′在OB上运动但不与点O、B重合，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由．

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    		3
    的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴正方向上，将△OAB 折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF．
    （1）当A′E∥x轴时，求点A′和E的坐标；
    （2）当A′E∥x轴，且抛物线y=-
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    x2+bx+c    经过点A′和E时，求抛物线与x轴的交点的坐标．

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