Question

【题目】在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点（1，1），（-，-），（-，-），…，都是和谐点．
（1）分别判断函数y=-2x+1和y=x2+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数y=ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，），且当0≤x≤m时，函数y=ax2+4x+c-（a≠0）的最小值为-3，最大值为1，求m的取值范围．
（3）直线l：y=kx+2经过和谐点P，与x轴交于点D，与反比例函数G：y=的图象交于M，N两点（点M在点N的左侧），若点P的横坐标为1，且DM+DN＜3，请直接写出n的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）不存在；（2）2≤m≤4；（3）-＜n＜0或0＜n＜1.

【解析】

（1）根据和谐点的横坐标与纵坐标相同，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．

（2）根据和谐点的概念令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0，由题意，△=32-4ac=0，即4ac=9，方程的根为，从而求得a=-1，c＝，所以函数y=ax2+4x+c-=-x2+4x-3，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围．

（3）根据题意得出当n＞0时，以及当n＜0时，分别利用数形结合得出n的取值．

（1）存在，

令-2x+1=x，解得x＝，

∴函数y=-2x+1的图象上有一个和谐点（，）；

令x2+1=x，即x2-x+1=0，

∵根的判别式△=（-1）2-4×1×1=-3＜0，

∴方程x2-x+1=0无实数根，

∴函数y=x2+1的图象上不存在和谐点．

（2）令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0，

由题意，△=32-4ac=0，即4ac=9，

又方程的根为，

解得a=-1，c＝．

故函数y＝ax2+4x+c，即y=-x2+4x-3，

如图1，该函数图象顶点为（2，1），与y轴交点为（0，-3），由对称性，该函数图象也经过点（4，-3）．

由于函数图象在对称轴x=2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y=-x2+4x-3的最小值为-3，最大值为1，

∴2≤m≤4．

（3）＜n＜0，或0＜n＜1．

∵y=kx+2经过和谐点P，

∴y=x，

∴x=kx+2，

∴点P的横坐标为1，

∴k=-1，

∴直线l为：y=-x+2，

分两种情况：

①如图2，当n＞0时，

∵y=-x+2，与x轴交于点D（2，0），与y轴交于点F（0，2），

∴DF=2，

∴DM+DN＜3，

∴只要y=-x+2与y=有交点坐标即可，

∴-x+2=，

整理得：x2-2x+n=0，

∴b2-4ac＞0，

∴4-4n＞0，

解得：n＜1，

则0＜n＜1；

②如图3，

当n＜0时，当DM+DN=3，

则DN=FM=，

∵y=-x+2，与x轴交于点D（2，0），与y轴交于点F（0，2），

∴可求出M（-，），

则xy=n=-，

则-＜n＜0．

综上，当-＜n＜0或0＜n＜1时，反比例函数G2的图象与直线l有两个公共点M，N，且DM+DN＜3．