Question

如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，DE是△ABC的中位线，以C为圆心CD为半径作圆．
（1）求证：AB是圆的切线．
（2）延长DE到F使EF=2DE；连接CE、AF．求证：四边形ACEF是菱形．

Answer 1

证明：（1）如图1，作 CG⊥AB交AB于G． （1分）
∵∠AGC=90°，∠B=30°
∴CG=BC=CD（2分）
∴AB是圆的切线． （3分）

（2）如图2，
∵∠ACB=90°，DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，即EF∥AC
∵DE=AC=EF，（4分）
∴EF=AC，
∴四边形ACEF是平行四边形； （5分）
又∵CE=BE=AE，∠B=30°，
∴∠BCE=30°，
∴∠ECA=60°，
∴△ECA是等边三角形
∴CE=AC，
∴四边形ACEF是菱形． （6分）
分析：（1）过点C作 CG⊥AB交AB于G．欲证AB是圆的切线，只需证明CD=CG即可；
（2）首先利用三角形中位线定理推知四边形ACEF是平行四边形；然后利用等边三角形的判定推知CE=CA；最后由菱形的判定定理（邻边相等的平行四边形是菱形）证得结论．
点评：本题综合考查了切线的判定、菱形的判定以及三角形中位线定理．注意，在证明四边形ACEF是菱形时，需要先证明该四边形平行四边形．