Question

已知p、g、

2q-1

p

、

2p-1

q

都是整数，且p＞1，q＞1．求p+q的值．

Answer 1

分析：此题运用假设法，如设若

2q-1

p

≥2，

2p-1

q

≥2，则2q-1＞=2p，2p-1＞=2q，两式相加得 2p+2q-2≥2p+2q，显然矛盾，可得出故

2q-1

p

，

2p-1

q

至少有一个小于2，再假设

2q-1

p

＜2，根据

2q-1

p

是整数，且p＞1 q＞1即可求出p、q的值，再由q＞1即可得出q=3 p=5，进而可得出结论．

解答：解：若

2q-1

p

≥2，

2p-1

q

≥2，则2q-1≥2p，2p-1≥2q，
两式相加得 2p+2q-2≥2p+2q． 显然矛盾，
故

2q-1

p

，

2p-1

q

至少有一个小于2．
设

2q-1

p

＜2，因为

2q-1

p

是整数，且p＞1 q＞1，
所以

2q-1

p

=1，即2q-1=p．
又因为

2p-1

q

=

4q-3

q

是整数，即4-

3

q

是整数，
所以q=1或q=3．
又因为q＞1，所以q=3 p=5，则q+p=8．
故答案为：8．

点评：本题考查的是整数问题的综合运用，解答此题的关键是利用反证法假设

2q-1

p

≥2，

2p-1

q

≥2，再根据2q-1≥2p，2p-1≥2q即可得出与已知相矛盾的结论，再设

2q-1

p

＜2，由不等式的基本性质及已知条件即可得出结论．