【知识重现】一元二次方程根与系数的关系是:如果x
1,x
2是一元二次方程ax
2+bx+c=0(a≠0)的两根,那么有x
1+x
2=-
,x
1•x
2=
.
【用法指导】我们利用一元二次方程根与系数的关系可以用来解答以下问题:
问题一:建立新方程
背景:设x
1,x
2是方程x
2+px+q=0的两个根,由根与系数的关系得:x
1+x
2=-p,x
1•x
2=q,反过来,p=-(x
1+x
2),q=x
1•x
2.
所以原方程可化为:x
2-(x
1+x
2)x+x
1•x
2=0,这样我们就建立了以两个已知数x
1,x
2为根的新方程.
例如:以2,3为根的方程是:x
2-(2+3)x+2×3=0,即:x
2-5x+6=0.
问题二:求与两根有关的代数式的值
例:设x
1,x
2是方程2x
2+4x-3=0的两根,不解方程,求代数式x
12+x
22的值.
解:由根与系数关系得:x
1+x
2=-
=-2,x
1•x
2=
=-
所以:x
12+x
22=x
12+x
22+2x
1•x
2-2x
1•x
2=(x
1+x
2)
2-2x
1•x
2=(-2)
2-2×(-
)=7
【学以致用】请你根据以上信息解答下题:
(1)请写出①以
,
为根的方程:
,②以-5,8为根方程:
;
(2)设x
1,x
2是方程x
2-3x-5=0的两根,不解方程,求代数式
+
的值.