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    如图①，在梯形ABCD中，AB=BC=10 cm，CD=6 cm，∠C=∠D=90°，如图②，动点P、Q同时以每秒1cm的速度从点B出发，点P沿BA、AD、DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止．
    （1）设P、Q同时从点B出发t秒时，△PBQ的面积为S（cm2），求S（cm2）关于t（秒）的函数关系式；并写出自变量t的取值范围；
    （2）当t为何值时，△PBQ的面积最大，最大面积是多少？
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    分析：（1）本题要分类进行讨论：
    ①当P在AB上运动时，即0≤t≤10时，可分别过P，A作BC的垂线，通过构建的相似三角形求出BQ边上的高，由此可根据三角形的面积公式得出S，t的函数关系式．
    ②当P在AD上运动时，即10≤t≤12时，Q点已停止运动，因此△BPQ的底边BQ的长不会变化，而BQ边上的高为CD的长，也不变，因此此时△BPQ的面积为定值S=
    1
    2
    BC•CD．
    ③当P在CD上运动时，即12≤t≤18是，Q点停止运动，BQ长不变，BQ边上的高为PC，PC的长可用AB，AD，CD三边的和减去P点运动的路程来求得．然后根据三角形的面积公式即可求出S，t的函数关系式．
    （2）根据（1）的分段函数即可求出不同的自变量的取值范围内，S的最大值，然后比较即可得出S的最大值及对应的t的值．
    解答：精英家教网解：（1）过点A作AM⊥BC于M，则AM=CD=6，
    ∵在Rt△ABM中，AB=10，AM=6，
    ∴BM=
    		AB2-AM2
    =
    		102-62
    =8，
    ∴AD=MC=2，
    过点P作PN⊥BC于N，则△PNB∽△AMB
    ∴
    PN
    AM
    =
    BP
    BA

    ∴
    PN
    6
    =
    t
    10

    ∴PN=
    3
    5
    t
    ⅰ当点P在BA上运动时
    S=
    1
    2
    •BQ•NP=
    1
    2
    t•
    3
    5
    t=
    3
    10
    t2（0≤t≤10）
    ⅱ当点P在AD上运动时，BQ=BC=10，PN=DC=6
    S=
    1
    2
    •BQ•NP=
    1
    2
    ×10×6=30（10≤t≤12）
    ⅲ当点P在DC上运动时
    S=
    1
    2
    •BQ•CP=
    1
    2
    ×10×（10+2+6-t）=-5t+90（12≤t≤18）．

    （2）ⅰ当0≤t≤10时，S=
    3
    10
    t2，S随t的增大而增大
    则当t=10时，△PBQ的面积最大，最大面积S=30
    ⅱ当10≤t≤12时，面积不变，S=30
    ⅲ当12≤t≤18时，S=-5t+90，S随t的增大而减小．
    则当t=12时，△PBQ的面积最大，最大面积S=30
    综上所述，当10≤t≤12时，△PBQ的面积最大，最大面积为30cm2．
    点评：本题主要考查了直角梯形的性质、相似三角形的应用、二次函数的应用等知识．综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    24、如图1，在梯形ABCD中AD∥BC，对角线AC，BD交于点P，则s△PAB=S△PDC，请你用梯形对角线的这一特殊性质，解决下面问题．
    在图2中，点E是△ABC中AB边上的任意一点，且AE≠BE，过点E画一条直线，把△ABC分成面积相等的两部分，保留作图痕迹，并简要说明你的方法．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4
    		2
    ，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB，AC上，且G，F分别是AB，AC的中点．
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    （1）求等腰梯形DEFG的面积；
    （2）操作：固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF′G′（如图2）．
    探究1：在运动过程中，四边形BDG′G能否是菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由；
    探究2：设在运动过程中△ABC与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    24、如图，已知：AD是△ABC中BC边的中线，则S△ABD=S△ACD，依据是
    等底等高的三角形面积相等

    规定；若一条直线l把一个图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线l叫做这个图形的等积直线．根据此定义，在图1中易知直线为△ABC的等积直线．
    （1）如图2，在矩形ABCD中，直线l经过AD，BC边的中点M、N，请你判断直线l是否为该矩形的等积直线
    是
    （填“是”或“否”）．在图2中再画出一条该矩形的等积直线．（不必写作法）
    （2）如图3，在梯形ABCD中，直线l经过上下底AD、BC边的中点M、N，请你判断直线l是否为该梯形的等积直线
    是
    （填“是”或“否”）．
    （3）在图3中，过M、N的中点O任作一条直线PQ分别交AD，BC于点P、Q，如图4所示，猜想PQ是否为该梯形的等积直线？请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•黑河）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=45°，易证MN=AM+CN
    （1）如图2，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=
    1
    2
    ∠ABC，试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
    （2）如图3，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN=
    1
    2
    ∠ABC，试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，不需证明．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    （2013•乐山）阅读下列材料：
    如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，点M，N分别在边AB，DC上，且MN∥AD，记AD=a，BC=b．若
    AM
    MB
    =
    m
    n
    ，则有结论：MN=
    bm+an
    m+n
    ．
    请根据以上结论，解答下列问题：
    如图2，图3，BE，CF是△ABC的两条角平分线，过EF上一点P分别作△ABC三边的垂线段PP1，PP2，PP3，交BC于点P1，交AB于点P2，交AC于点P3．
    （1）若点P为线段EF的中点．求证：PP1=PP2+PP3；
    （2）若点P为线段EF上的任意位置时，试探究PP1，PP2，PP3的数量关系，并给出证明．

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