Question

6．如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折线”）．
（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；
（2）如图2，双曲线y=$\frac{k}{x}$与新函数的图象交于点C（1，a），点D是线段AC上一动点（不包括端点），过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．
①试求△PAD的面积的最大值；
②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据一次函数的性质，结合函数图象可写出新函数的两条性质；求新函数的解析式，可分两种情况进行讨论：①x≥-3时，显然y=x+3；②当x＜-3时，利用待定系数法求解；
（2）①先把点C（1，a）代入y=x+3，求出C（1，4），再利用待定系数法求出反比例函数解析式为y=$\frac{4}{x}$．由点D是线段AC上一动点（不包括端点），可设点D的坐标为（m，m+3），且-3＜m＜1，那么P（$\frac{4}{m+3}$，m+3），PD=$\frac{4}{m+3}$-m，再根据三角形的面积公式得出△PAD的面积为S=$\frac{1}{2}$（$\frac{4}{m+3}$-m）×（m+3）=-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2=-$\frac{1}{2}$（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，然后利用二次函数的性质即可求解；
②先利用中点坐标公式求出AC的中点D的坐标，再计算DP，DE的长度，如果DP=DE，那么根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形PAEC为平行四边形；如果DP≠DE，那么不是平行四边形．

解答 解：（1）如图1，均是正整数新函数的两条性质：①函数的最小值为0；
②函数图象的对称轴为直线x=-3；
由题意得A点坐标为（-3，0）．分两种情况：
①x≥-3时，显然y=x+3；
②当x＜-3时，设其解析式为y=kx+b．
在直线y=x+3中，当x=-4时，y=-1，
则点（-4，-1）关于x轴的对称点为（-4，1）．
把（-4，1），（-3，0）代入y=kx+b，
得$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=1}\\{-3k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴y=-x-3．
综上所述，新函数的解析式为y=$\left\{\begin{array}{l}{x+3（x≥-3）}\\{-x-3（x＜-3）}\end{array}\right.$；

（2）如图2，①∵点C（1，a）在直线y=x+3上，
∴a=1+3=4．
∵点C（1，4）在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=1×4=4，y=$\frac{4}{x}$．
∵点D是线段AC上一动点（不包括端点），
∴可设点D的坐标为（m，m+3），且-3＜m＜1．
∵DP∥x轴，且点P在双曲线上，
∴P（$\frac{4}{m+3}$，m+3），
∴PD=$\frac{4}{m+3}$-m，
∴△PAD的面积为
S=$\frac{1}{2}$（$\frac{4}{m+3}$-m）×（m+3）=-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2=-$\frac{1}{2}$（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
∵a=-$\frac{1}{2}$＜0，
∴当m=-$\frac{3}{2}$时，S有最大值，为$\frac{25}{8}$，
又∵-3＜-$\frac{3}{2}$＜1，
∴△PAD的面积的最大值为$\frac{25}{8}$；
②在点D运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形．理由如下：
当点D为AC的中点时，其坐标为（-1，2），此时P点的坐标为（2，2），E点的坐标为（-5，2），
∵DP=3，DE=4，
∴EP与AC不能互相平分，
∴四边形PAEC不能为平行四边形．

点评 本题是反比例函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式，反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，二次函数最值的求法，平行四边形的判定等知识，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论是解题的关键．