Question

9．如图，点D是△ABC内部一点，AD平分∠BAC．
（1）若∠ABD=∠ACD，求证：∠DBC=∠DCB；
（2）若BD=CD，求证：△ABC是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）可根据AAS证明△ABD≌△ACD即可证明∠DBC=∠DCB；
（2）作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，可证明AE=AF，BE=CF即可．

解答 证明：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠CAD}\\{∠ABD=∠ACD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD，
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB；
（2）如图，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴BE=CF，
∴AE+BE=AF+CF，
即AB=AC．

点评 此题主要考查全等三角形的判定及性质以及等腰三角形的判定；作出辅助线构建全等的三角形和角平分线的性质是正确解答第（2）小题的关键．