Question

三角形的三内角A、B、C的对边长分别是a、b、c（a、b、c都是素数），且满足a+b+c=16，又设∠A是最小内角，则cosA的值是（　　）

• A、

  1

  7

• B、

  2

  7

• C、

  47

  49

• D、条件不足，无法计算

Answer 1

考点：勾股定理,等腰三角形的性质,锐角三角函数的定义

专题：

分析：把a，b，c中的两个字母的和当作一个整体，由于a+b+c=16，16是偶数，根据偶数+偶数=偶数，奇数+奇数=偶数，偶数+奇数=奇数，而2是唯一的偶质数，得出a，b，c中有一个是2，不妨设a=2，则b+c=14，且b、c都是奇质数，再根据三角形三边关系定理得出b、c的值，利用勾股定理求出

解答：解：∵a+b+c=16，a，b，c都是质数，则a，b，c的值一定是：1或2或3或5或7或11或13．
∴a，b，c中有一个是2，根据大边对大角可得：a=2，
∴b+c=14，且b、c都是奇质数，
又∵14=3+11=7+7，
而2+3＜11，
∴以2，3，11为边不能组成三角形；
而2+7＞7，
以2，7，7为边能组成三角形．
画出示意图如下：

设AD=x，则DC=7-x，
∵AB²-AD²=BC²-CD²，即7²-x²=2²-（7-x）²，
解得x=

47

7

，即AD=

47

7

，
∴cosA=

AD

AB

=

47

49

．
故选C．

点评：本题考查了奇偶数、质数的有关知识及三角形三边关系定理，难度较大，其中对于奇偶数、质数的有关知识考查属于竞赛题型，超出教材大纲要求范围．