Question

如图，现有一横截面是一抛物线的水渠．一次，水渠管理员将一根长1.5m的标杆一端放在水渠底部的A点，另一端露出水面并靠在水渠边缘的B点，发现标杆有1m浸没在水中，露出水面部分的标杆与水面成30°的夹角（标杆与抛物线的横截面在同一平面内）．
（1）以水面所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，求该水渠横截面抛物线的解析式（结果保留根号）；
（2）在（1）的条件下，求当水面再上升0.3m时的水面宽约为多少（

5

取2.2，结果精确到0.1m）．

Answer 1

分析：（1）根据所建坐标系，设解析式为顶点式．因此需求顶点A的坐标和点B的坐标．设AB与x轴交于C点，可知AC=1m，BC=0.5m．作BD⊥x轴于点D．通过解Rt△AOC和Rt△BCD求点A、B的坐标．
（2）运用函数性质结合解方程求解．

解答：解：（1）设AB与x轴交于C点，可知AC=1m，BC=0.5m．
作BD⊥x轴于点D．
则OA=0.5m，OC=

3

2

m，
BD=

1

4

m，CD=

3

4

m，
故A（0，-

1

2

）；
B（

3 3

4

，

1

4

）．
设抛物线的解析式为y=ax²-

1

2

．
将点B的坐标代入得a=

4

9

，
因而y=

4

9

x²-

1

2

．

（2）当水面上升0.3m时，
此时y=0.3，代入可得

4

9

x2-

1

2

=0.3，
解得x=±

3 5

5

．
故此时水面宽为

6 5

5

m，约为2.6m．

点评：将实际问题转化为数学题体现了数学建模的思想，是解决实际问题的常用有效手段．如何建模需认真斟酌．