Question

有一种汽车用“千斤顶”，它由4根连杆组成菱形ABCD，当螺旋装置顺时针旋转时，B、D两点的距离变小，从而顶起汽车．若AB=30，螺旋装置每顺时针旋转1圈，BD的长就减少1．设BD=a，AC=h，
（1）当a=40时，求h值；
（2）从a=40开始，设螺旋装置顺时针方向旋转x圈，求h关于x的函数解析式；
（3）从a=40开始，螺旋装置顺时针方向连续旋转2圈，设第1圈使“千斤顶”增高s₁，第2圈使“千斤顶”增高s₂，试判定s₁与s₂的大小，并说明理由；若将条件“从a=40开始”改为“从某一时刻开始”，则结果如何，为什么？

Answer 1

分析：（1）根据菱形的两条对角线垂直且平分的性质，然后根据勾股定理，即可求出h值．
（2）首先知道螺旋装置顺时针方向旋转的圈数与BD之间的关系，然后用勾股定理，就可求出h与x之间的函数关系．
（3）此问首先要搞清楚增高的s是指AC增高了s，根据第2问的函数关系进行推算，就可知道s₁与s₂的大小关系．

解答：解：（1）连AC交BD于O，
∵ABCD为菱形，
∴∠AOB=90°，OA=

h

2

，OB=20，（3分）
在Rt△AOB中，
∵AO²+BO²=AB²，
即（

h

2

）²+20²=30²，
∴h=20

5

；（2分）

（2）从a=40开始，螺旋装置顺时针方向旋转x圈，则BD=40-x，（2分）
∴（

h

2

）²+（

40-x

2

）²=30²，
∴h=

602-(40-x)2

；（2分）
（3）结论：s₁＞s₂．
在h=

602-(40-x)2

中，
令x=0得，h₀=

602-402

≈44.721；
令x=1得，h₁=

602-392

≈45.596；
令x=2得，h₂=

602-382

≈46.435；
∴s₁=h₁-h₀≈0.88，s₂=h₂-h₁≈0.84，
∴s₁＞s₂；（3分）
也可以如下比较s₁、s₂的大小：
∵s1=

602-392

-

602-402

=

(602-392)-(602-402)

602-392 + 602-402

=

79

99×21 + 100×20

s2=

602-382

-

602-392

=

(602-382)-(602-392)

602-382 + 602-392

=

77

98×22 + 99×21

而79＞77，

100×20

＜

98×22

∴s₁＞s₂；（3分）
若将条件“从a=40开始”改为“从任意时刻开始”，则结论s₁＞s₂仍成立．
∵s1=

602-(a-1)2

-

602-a2

=

2a-1

602-(a-1)2 + 602-a2

，
s2=

602-(a-2)2

-

602-(a-1)2

=

2a-3

602-(a-2)2 + 602-(a-1)2

，
而2a-1＞2a-3，

602-a2

＜

602-(a-2)2

∴s₁＞s₂．（2分）

点评：菱形的性质是中考常见的一个考点，将其与勾股定理综合使用，是解决相似题型的常用方法．