Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y=-x²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，3）．
（1）求抛物线及直线AC的解析式；
（2）E、F是线段AC上的两点，且∠AEO=∠ABC，过点F作与y轴平行的直线交抛物线于点M，交x轴于点N．当MF=DE时，在x轴上是否存在点P，使得以点P、A、F、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c过B（1，0）、C（0，3）两点，
∴解得
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3，
由y=-x²-2x+3可得A点坐标为（-3，0），
设直线AC的解析式为y=kx+n，
∴，
解得
∴直线AC的解析式为y=x+3；

（2）∵OA=OC=3，OB=1，
∴△AOC是等腰直角三角形，AC=，AB=4，
∴∠ECO=45°，
∵∠AEO=∠ABC，∠EAO=∠BAC，
∴△AEO∽△ABC，
∴，
∴，
∴AE=．
∴CE=AC-AE=-=，
过点E作EH⊥y轴于H，
可得EH=CH=1，OH=2，
∴E点的坐标为（-1，2），
∵抛物线y=-x²-2x+3顶点D的坐标为（-1，4），
∴ED=2，
∴MF=ED=2，
∵F在线段AC上，M在抛物线y=-x²-2x+3上，
∴设F点的坐标为（x，x+3），M点的坐标为（x，-x²-2x+3），
∴-x²-2x+3-（x+3）=2，
解得x₁=-2，x₂=-1（不合题意，舍去），
∴F点的坐标为（-2，1），
∴FN=NA=1，
在x轴上存在点P，使得以点P、A、F、M为顶点的四边形是梯形．
当FP∥MA时，可得．
∴．
∴．
∴P点的坐标为（-，0）．
当MP∥FA时，可得．
∴PN=3．
∴P点的坐标为（-5，0），
∴在x轴上存在点P使得以点P、A、F、M为顶点的四边形是梯形，
点P的坐标为（-，0）或（-5，0）．
分析：（1）将B（1，0）、C（0，3）两点坐标代入抛物线y=-x²+bx+c中，可求抛物线解析式，用抛物线解析式可求A点坐标，设直线AC的解析式为y=kx+n，将A、C两点坐标代入可求直线AC的解析式；
（2）由∠AEO=∠ABC，∠EAO=∠BAC，可证△AEO∽△ABC，利用对应边的比线段可求AE，由CE=AC-AE可求CE，过点E作EH⊥y轴于H，则△CEH为等腰直角三角形，由此可求E（-1，2），而D（-1，4），故MF=DE=2，由MN∥y轴，F在线段AC上，M在抛物线y=-x²-2x+3上，可设F点的坐标为（x，x+3），M点的坐标为（x，-x²-2x+3），根据MF=2列方程，得-x²-2x+3-（x+3）=2，由此可求F、M、N三点的坐标．在x轴上存在点P，使得以点P、A、F、M为顶点的四边形是梯形，分为FP∥MA，MP∥FA两种情况，利用相似比分别求出线段PN的长，从而求出P点坐标．
点评：此题考查了直线、抛物线解析式的确定，梯形、相似三角形的判定与性质等重要知识点，同时用到了分类讨论的数学思想，难点在于形数结合，考虑问题要全面，做到不重不漏．