Question

16、一个直角三角形的三条边的长均为整数，已知它的一条直角边的长是18，那么另一条直角边的长有

2

种可能，它的最大值是

80

．

Answer 1

分析：一条直角边长为18，则另一条直角边长可能有两种情况，边长为24或者80．最大值为80．

解答：解：设另一直角边长和斜边长分别是Z，X，显然X＞Z＞0
根据直角三角形的边长关系有：18²=X²-Z²
即：18²=（X+Z）（X-Z）
式中 X+Z 和 X-Z 分别是大于零的整数，且满足：X+Z＞X-Z＞0
再来看看18²=324这个数的因数：1，2，3，4，6，9，18，36，54，81，108，162，324．
也就是 X-Z 和 X+Z 这两个数必定取这些因数中的数！
由于 X-Z＜X+Z，它们可以取：
X-Z=1，X+Z=324，解这个联立方程，得2X=325（舍去），
X-Z=2，X+Z=162，解这个联立方程，得2X=164，X=82，Z=80．
X-Z=3，X+Z=108，解这个联立方程，的2X=111（舍去）．
X-Z=4，X+Z=81，解这个联立方程，得2X=85（舍去）．
X-Z=6，X+Z=54，解这个联立方程，得2X=60，X=30，Z=24．
X-Z=9，X+Z=36，解这个联立方程，得2X=45（舍去）．
X-Z=18，X+Z=18，已经与题意不相符了！
所以，共有2个整数解：
X=82，Z=80
X=30，Z=24
所以，另一条直角边的长度只有（  2  ）种可能，其中最大值是 （ 80 ）．
故答案为 2，80．

点评：本题考查了在直角三角形中勾股定理的运用，本题中计算$sqrt{{x}^{2}+{18}^{2}}$也是整数是解题的关键．