Question

5．如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，DE=$\frac{1}{3}$DC，连接AE，将△ADE沿AE翻折，点D落在点F处，点O是对角线BD的中点，连接OF并延长OF交CD于点G，连接BF，BG，则△BFG的周长是$\frac{12}{5}$（$\sqrt{5}$+$\sqrt{10}$）．

Answer 1

分析 如图，延长EF交BC于M，连接AM，OM，作FN⊥CD于N，FR⊥BC于R，GH⊥OM于H交FR于T，首先证明△AMF≌△AMB，得BM=MF，设BM=MF=x，在RT△EMC中利用勾股定理求出x，推出BM=MC，设GC=y，根据FT∥OH，得$\frac{FT}{OH}$=$\frac{TG}{GH}$=$\frac{RC}{CM}$=$\frac{EF}{EM}$=$\frac{2}{5}$，列出方程求出GC，再想办法分别求出FG、BG、BF即可解决问题．

解答 解；如图延长EF交BC于M，连接AM，OM，作FN⊥CD于N，FR⊥BC于R，GH⊥OM于H交FR于T．
在RT△AMF和RT△AMB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AM}\\{AF=AB}\end{array}\right.$，
∴△AMF≌△AMB，
∴BM=MF，设BM=MF=x，
在RT△EMC中，∵EM²=EC²+MC²，
∴（2+x）²=（6-x）²+4²，
∴x=3，
∴BM=MC=3，
∵OB=OD，
∴OM=$\frac{1}{2}$CD=3，
∵FR∥EC，
∴$\frac{FR}{EC}$=$\frac{MF}{ME}$，
∴$\frac{FR}{4}$=$\frac{3}{5}$，
∴FR=$\frac{12}{5}$，
设CG=y，则FT=$\frac{12}{5}$-y．OH=3-y，
∵FT∥OH，
∴$\frac{FT}{OH}$=$\frac{TG}{GH}$=$\frac{RC}{CM}$=$\frac{EF}{EM}$=$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{\frac{12}{5}-y}{3-y}$=$\frac{2}{5}$，
∴y=2，
∴CG=2，NG=CN-CG=$\frac{2}{5}$，
在RT△FNG中，FG=$\sqrt{F{N}^{2}+N{G}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{6}{5}）^{2}+（\frac{2}{5}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
在RT△BCG中，BG=$\sqrt{B{C}^{2}+C{G}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∵AB=AF，MB=MF，
∴AM⊥BF，
∵$\frac{1}{2}$AM•BF=2×$\frac{1}{2}$×AB×BM，
∴BF=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
∴△BFG的周长=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$+2$\sqrt{10}$+$\frac{2\sqrt{10}}{5}$=$\frac{12}{5}$（$\sqrt{5}$+$\sqrt{10}$）．
故答案为$\frac{12}{5}$（$\sqrt{5}$+$\sqrt{10}$）．
或延长EF交BC于M，连接OM，易证△ABM≌△AFM，所以MF=BM=OM=3，所以EF=EG=CG=2，所以BG=2$\sqrt{10}$．在三角形ABM中易得BF=$\frac{12}{5}$$\sqrt{5}$．易知∠FGE=∠BGC，FG=$\frac{1}{5}$BG，所以FG=$\frac{2}{5}$$\sqrt{10}$．

点评 本题考查正方形的性质、翻折变换、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，利用勾股定理构建方程解决问题，题目比较难，属于中考填空题中的压轴题．