Question

10．已知a，b，c为正整数，且a²+b²+c²-ab-bc-ac=19，那么a+b+c的最小值等于（　　）

• A． 11
• B． 10
• C． 8
• D． 6

Answer 1

分析 根据完全平方公式，先分解成（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=38，设x=a-b，y=b-c，z=c-a再进一步探讨整数解得出答案即可．

解答 解：∵a²+b²+c²-ab-bc-ac=19，
∴2（a²+b²+c²-ab-ac-bc）=38，
a²+b²-2ab+a²+c²-2ac+b²+c²-2bc=38，
（a-b）²+（c-a）²+（b-c）²=38，
设x=a-b，y=b-c，z=c-a
那么x+y+z=0
x²+y²+z²=38，
这个方程有整数解（2，3，-5）和（-2，-3，5），
若a-b=2，b-c=3那么a=c+5，b=c+3，
此时满足的最小正整数解为c=1，b=4，a=6，所以a+b+c=11，
若a-b=-2，b-c=-3那么c=a+5，b=a+2，
此时满足的最小正整数解为c=6，b=3，a=1，所以a+b+c=10
所以a+b+c的最小值为10．
故选：B．

点评 此题考查因式分解的实际运用，掌握完全平方公式，利用完全平方数的特点分解是解决问题的关键．