Question

某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品，已知每件产品的进价为40元，经销过程中测出销售量y(万件)与销售单价x(元)存在如图所示的一次函数关系，每年销售该种产品的总开支z(万元)(不含进价)与年销量y(万件)存在函数关系z＝10y＋42.5．

(1)求y关于x的函数关系式；

(2)试写出该公司销售该种产品年获利w(万元)关于销售单价x(元)的函数关系式；(年获利＝年销售总金额－年销售产品的总进价－年总开支金额)当销售单价x为何值时，年获利最大？最大值是多少？

(3)若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元，请你利用(2)小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围．在此条件下要使产品的销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？

Answer 1

答案：
解析：

(1)由题意，设y＝kx＋b，图象过点(70，5)，(90，3)， 　　∴，解得∴y＝－x＋12． 　　(2)由题意，得w＝y(x－40)－z＝y(x－40)－(10y＋42.5)＝(－x＋12)(x－40)－10×(－x＋12)－42.5＝－0.1x2＋17x－642.5＝－(x－85)2＋80．当x＝85时，年获利的最大值为80万元． 　　(3)令w＝57.5，得－0.1x2＋17x－642.5＝57.5，整理，得x2－170x＋7000＝0．解得x1＝70，x2＝100． 　　由图象可知，要使年获利不低于57.5万元，销售单价为70元到100元之间．又因为销售单价越低，销售量越大，所以要使销售量最大，又使年获利不低于57.5万元，销售单价应该定为70元．