Question

已知：如图，一次函数y=

1

2

x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y=

1

2

x²+bx+c的图象与一次函数y=

1

2

x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）
（1）求二次函数的解析式；
（2）求四边形BDEC的面积S；
（3）在x轴上有一动点P，从O点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动，是否存在点P使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P运动的时间t的值，若不存在，请说明理由．
（4）若动点P在x轴上，动点Q在射线AC上，同时从A点出发，点P沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，求a的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据直线BC的解析式，可求得点B的坐标，由于B、D都在抛物线的图象上，那么它们都满足该抛物线的解析式，通过联立方程组即可求得待定系数的值；
（2）根据抛物线的解析式，可求得E点的坐标，联立直线BC的解析式，可求得C点坐标；那么四边形BDEC的面积即可由△AEC、△ABD的面积差求得；
（3）假设存在符合条件的P点，连接BP、CP，过C作CF⊥x轴于F，若∠BPC=90°，则△BPO∽△CPF，可设出点P的坐标，分别表示出OP、PF的长，根据相似三角形所得比例线段即可求得点P的坐标，继而得出t的值．
（4）假设成立有△ABD∽△APQ或△ABD∽△AQP，则有∠ABD=∠APQ，或∠ABD=∠AQP，判断是否满足即可．

解答：解：（1）将B（0，1），D（1，0）的坐标代入y=

1

2

x²+bx+c，
得：

c=1 b+c+ 1 2 =0

，
解得：

b=- 3 2 c=1

故解析式y=

1

2

x²-

3

2

x+1；

（2）设C（x₀，y₀），
则有

y0= 1 2 x0+1 y0= 1 2 x02- 3 2 x0+1

，
解得

x0=4 y0=3

，
∴C（4，3），
由图可知：S=S_△ACE-S_△ABD，又由对称轴为x=

3

2

可知E（2，0），
∴S=

1

2

AE•y₀-

1

2

AD×OB=

1

2

×4×3-

1

2

×3×1=

9

2

；

（3）设符合条件的点P存在，令P（a，0）：
当P为直角顶点时，如图：过C作CF⊥x轴于F；
∵Rt△BOP∽Rt△PFC，
∴

BO

PF

=

OP

CF

，
即

1

4-a

=

a

3

，
整理得a²-4a+3=0，
解得a=1或a=3；
故可得t=1或3．

（4）存在符合条件的t值，使△APQ与△ABD相似，
①当△APQ∽△ABD时，

AP

AB

=

AQ

AD

，
解得：a=

4

3

；
②当

AP

BD

=

PQ

AB

 解得：a=

20

7

，
∴存在符合条件的a值，使△APQ与△ABD相似，a=

4

3

或

20

7

．

点评：此题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标及图形面积的求法、直角三角形的判定以及相似三角形的性质等，难度适中．