Question

某社区进行环境改造，计划用地面砖铺设楼前矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示：广场的四角为边长相同的小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都为小正方形的边长，阴影部分铺绿色地面砖，其余部分铺白色地面砖．
（1）要使铺白色地面砖的面积为5200平方米，并且四个角的小正方形面积的和不超过500平方米，那么这个矩形广场的四个角的小正方形的边长应为多少米？
（2）在（1）的条件下，经过市场调查了解到白色地面砖每平方米的费用为30元，绿色地面砖每平方米的费用为20元，问准备万元购买铺设此矩形广场所需全部地面砖是否够用？请说明理由．

Answer 1

解：（1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据题意，得：
4x²+（100-2x）（80-2x）=5200
整理，得：x²-45x+350=0（3分）
解之，得：x₁=35，x₂=10，
∵四个角的小正方形面积的和不超过500平方米，
∴x=10
∴要使铺白色地面砖的面积为5200平方米，则矩形广场四角的小正方形的边长为10米．

（2）设铺矩形广场地面的总费用为y元，广场四角的小正方形的边长为x米，则，
y=30×[4x²+（100-2x）（80-2x）]+20×[2x（100-2x）+2x（80-2x）]
即：y=80x²-3600x+240000
配方得，y=80（x-22.5）²+199500
当x=22.5时，y的值最小，最小值为199500．
∴总费用将超过万元．
分析：（1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据等量关系“白色地板砖的面积=4个小正方形的面积+中间矩形的面积”列出一元二次方程求解即可；
（2）设铺矩形广场地面的总费用为y元，广场四角的小正方形的边长为x米，根据等量关系“总费用=铺白色地面砖的费用+铺绿色地面砖的费用”列出y关于x的函数，求得最小值，然后与一万比较即可得到答案．
点评：本题第（1）问考查了通过二次方程解决实际问题的能力；第（2）问考查了根据函数解析式求函数最值的能力．