Question

4．已知△ABC中，点O是边AC上的一个动点，过O做直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．

（1）求证：OE=OF．
（2）试确定点O在边AC上的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．
（3）在（2）的条件下，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，矩形AECF是正方形．

Answer 1

分析 （1）由平行线的性质和角平分线的性质，推出∠ECB=∠CEO，∠GCF=∠CFO，∠ECB=∠ECO，∠GCF=∠OCF，通过等量代换即可推出∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠OCF，便可确定OC=OE，OC=OF，可得OE=OF；
（2）当O点运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形，根据矩形的判定定理（对角线相等且互相平分的四边形为矩形），结合（1）所推出的结论，即可推出OA=OC=OE=OF，求出AC=EF后，即可确定四边形AECF为矩形；
（3）当△ABC是直角三角形时，四边形AECF是正方形，根据（2）所推出的结论，由AC⊥BC，MN∥BC，确定AC⊥EF，即可推出结论．

解答 解：（1）∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE=∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠FEC=∠BCE，
∴∠ACE=∠FEC，
∴OE=OC，
同理可证OF=OC
∴OE=OF，
（2）当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，
∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF平行四边形，
∵OE=OC，
∴OA=OC=OE=OF，
∴AC=EF
∴平行四边形AECF是矩形，
（3）当点O运动到AC的中点，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．
理由如下：
∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四边形AECF是矩形．
∵MN∥BC，当∠ACB=90°，
则∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形；
故答案为∠ACB为直角的直角三角形．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了角平分线的性质，熟练掌握平行四边形，矩形及正方形的性质及判定定理，能够解决一些简单的运动问题．解本题的关键是矩形的判定．