Question

4．已知直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象交于C，D两点，若AB=$\sqrt{2}$CD，则k的值为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先求得OA=OB=4，然后根据已知求得DE=EC=2$\sqrt{2}$，设C（a，b），则D（a-2$\sqrt{2}$，b+2$\sqrt{2}$），根据k=ab=（a-2$\sqrt{2}$）（b+2$\sqrt{2}$），得出a-b=2$\sqrt{2}$①，把C的坐标代入直线解析式得出b=-a+4②，从而求得a、b的值，即可求得k的值．

解答 解：由直线y=-x+4可知A（4，0），B（0，4），则OA=OB=4，
作DE∥OB，EC∥OA，
∴△AOB∽△CED，
∴$\frac{DE}{OB}$=$\frac{EC}{OA}$=$\frac{DC}{AB}$，
∵AB=$\sqrt{2}$CD，
∴DE=EC=2$\sqrt{2}$，
设C（a，b），则D（a-2$\sqrt{2}$，b+2$\sqrt{2}$），
∵k=ab=（a-2$\sqrt{2}$）（b+2$\sqrt{2}$），
∴a-b=2$\sqrt{2}$①，
∵点C在直线AB上，
∴b=-a+4②，
①+②求得a=$\sqrt{2}$+2，
∴b=2-$\sqrt{2}$，
∴k=ab=（2+$\sqrt{2}$）（2-$\sqrt{2}$）=2．
故选C．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，弄清题意列出等式是解本题的关键．