Question

如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE、GC．
（1）试猜想AE与GC有怎样的数量关系；
（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和GC．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，求证：AE⊥GC．（友情提示：旋转后的几何图形与原图形全等）

Answer 1

分析：（1）观察图形，AE、CG的数量关系可能是相等，下面着手证明．由于四边形ABCD、DEFG都是正方形，由SAS易证得△ADE≌△CDG，则AE=GC；
（2）（1）中的结论仍然成立，参照（1）题的解题方法，可由SAS证得△ADE≌△CDG，得AE=GC；
（3）由△ADE≌△CDG，得∠5=∠4，由于∠4、∠7互余，而∠5、∠6互余，那么∠6=∠7；由图知∠AEB=∠CEH=90°-∠6，即∠7+∠CEH=90°，由此得证．

解答：（1）解：AE=GC．理由如下：
在正方形ABCD与正方形DEFG中，
AD=DC，∠ADE=∠CDG=90°，DE=DG，
∴△ADE≌△CDG，
∴AE=GC；

（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：
在正方形ABCD和正方形DEFG中，
AD=DC，DE=DG，∠ADC=∠EDG=90°，
∴∠1=∠2=90°-∠3；
∴△ADE≌△CDG，
∴AE=GC；

（3）证明：延长AE和GC相交于点H，
∵△ADE≌△CDG，
∴∠5=∠4，
又∵∠5+∠6=90°，∠4+∠7=180°-∠DCE=180°-90°=90°，
∴∠6=∠7，
又∵∠6+∠AEB=90°，∠AEB=∠CEH，
∴∠CEH+∠7=90°，
∴∠EHC=90°，
∴AE⊥GC．

点评：本题主要考查旋转的性质以及全等三角形的判定和性质．需要注意的是：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．