Question

13．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，请利用上述有关思想，解答下列问题．
如图1，在?ABCD中，E是BC的中点，AE与BD相交于点F．若△BEF的面积为2，求四边形CDFE的面积．
【类比延伸】
如图2，在?ABCD中，E是BC的一点，且BE：BC=m：n（n＞m＞0），AE与BD相交于点F．求△ABF的面积与四边形CDFE的面积的比．（用含m、n的代数式表示）
【拓展迁移】
如图3，在?ABCD中，E是BC的一点，且BE：BC=$\frac{2}{3}$，点G是线段CD的中点，AE与BG相交于点F．则△ABF的面积与四边形CGFE的面积的比等于$\frac{12}{13}$．（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）先由平行四边形的性质得出AD=2BE，BE∥AD，进而得出△BEF∽△DAF，即可得出△ABF，△ABD，的面积，用面积的和差即可得出结论；
（2）先由平行四边形的性质得出AD=BC，BE∥AD，证出△BEF∽△DAF，得出$\frac{EF}{AF}=\frac{BE}{AD}$=$\frac{m}{n}$，∴$\frac{{S}_{△BEF}}{{S}_{△ADF}}$=（$\frac{m}{n}$）²=$\frac{{m}^{2}}{{n}^{2}}$，设△BEF的面积为a，即可得出△ABF，△ABD，的面积，用面积的和差即可得出结论；
（3）由（2）得：m=2．n=3，得出△ABF的面积=$\frac{3}{2}$a，四边形CDFE的面积=$\frac{11}{4}$a，连接CF，由△ABF的面积+△CDF的面积=△ABD的面积，得出△CDF的面积=△ADF的面积=$\frac{9}{4}$a，求出△DGF的面积=$\frac{1}{2}$△CDF的面积=$\frac{9}{8}$a，用面积的和差即可得出结论．

解答 解：（1）∵点E是平行四边形ABCD中BC边的中点，
∴AD=BC=2BE，BE∥AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴$\frac{EF}{AF}=\frac{BE}{AD}$=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{{S}_{△BEF}}{{S}_{△ADF}}$=（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
∵△BEF的面积为1，
∴S_△ABF=2S_△BEF=4，S_△ADF=4S_△BEF=8，
∴S_△ABD=S_△ABF+S_△ADF=12，
∴S_{四边形DCEF}=S_△BCD-S_△BEF=S_△ABD-S_△BEF=12-2=10；
（2）【类比延伸】∵在?ABCD中，E是BC的一点，且BE：BC=m：n，
∴AD=BC，BE∥AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴$\frac{EF}{AF}=\frac{BE}{AD}$=$\frac{m}{n}$，
∴$\frac{{S}_{△BEF}}{{S}_{△ADF}}$=（$\frac{m}{n}$）²=$\frac{{m}^{2}}{{n}^{2}}$，
设△BEF的面积为a，
∴S_△ABF=$\frac{n}{m}$S_△BEF=$\frac{na}{m}$，S_△ADF=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}}$S_△BEF=$\frac{{n}^{2}a}{{m}^{2}}$，
∴S_△ABD=S_△ABF+S_△ADF=$\frac{na}{m}+\frac{{n}^{2}a}{{m}^{2}}$=$\frac{mn+{n}^{2}}{{m}^{2}}$a，
∴S_{四边形DCEF}=S_△BCD-S_△BEF=S_△ABD-S_△BEF=$\frac{mn+{n}^{2}}{{m}^{2}}$a-a=$\frac{mn+{n}^{2}-{m}^{2}}{{m}^{2}}$a，
；△ABF的面积与四边形CGFE的面积的比=$\frac{na}{m}$：（$\frac{mn+{n}^{2}-{m}^{2}}{{m}^{2}}$a）=$\frac{mn}{mn+{n}^{2}-{m}^{2}}$；
（3）【拓展迁移】设△BEF的面积为a，
∵由（2）得：m=2．n=3，
∴△ABF的面积=$\frac{3}{2}$a，四边形CDFE的面积=$\frac{11}{4}$a，连接CF，如图所示：
∵△ABF的面积+△CDF的面积=△ABD的面积，
∴△CDF的面积=△ADF的面积=$\frac{9}{4}$a，
∵G是CD的中点，
∴△DGF的面积=$\frac{1}{2}$△CDF的面积=$\frac{9}{8}$a，
∴四边形CGFE的面积=$\frac{11}{4}$a-$\frac{9}{8}$a=$\frac{13}{8}$a，
∴△ABF的面积与四边形CGFE的面积的比=$\frac{3}{2}$a：$\frac{13}{8}$a=$\frac{12}{13}$，
故答案为：$\frac{12}{13}$．

点评 此题是四边形综合题目，考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，同高的三角形的面积比是底的比等知识，本题综合性强，有一定难度，用相似三角形的性质得出相似三角形的面积比是解决问题的关键．