在△ABC中.∠ACB=90°.∠B=30°.AB=2.若△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后.得到△E1D1C．(1)如图1.当AB∥CD1时.则旋转角n= 度.此时点A所经过的路径长 .线段BC扫过的图形的面积是 ,(2)如图2.连结AE1.BD1.则△ACE1与△BCD1的面积比为 ,(3)如图3.在△ABC绕点C旋转的过程中.CD1与边ED交于点F.当� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=2，若△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度（0°＜n＜90°）

后，得到△E₁D₁C．
（1）如图1，当AB∥CD₁时，则旋转角n=

度，此时点A所经过的路径长

，线段BC扫过的图形的面积是

；
（2）如图2，连结AE₁，BD₁，则△ACE₁与△BCD₁的面积比为

；
（3）如图3，在△ABC绕点C旋转的过程中，CD₁与边ED交于点F，当△CDF为等腰三角形时，则n=

．

考点：旋转的性质

专题：

分析：（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠BCD₁=∠B，再根据旋转的性质解答；根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=

AB，再利用弧长公式列式计算即可得解；利用勾股定理列式求出BC，然后根据扇形的面积公式列式计算即可得解；
（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答；
（3）分DF=CD和CF=DF两种情况，利用等腰三角形两底角相等求出∠DCF，再求出∠BCD₁，即为旋转角．

解答：解：（1）∵AB∥CD₁，
∴∠BCD₁=∠B=30°，
即n=30°；
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AB=2，
∴AC=

AB=

×2=1，
∴点A所经过的路径长=

30•π•1

180

π，
由勾股定理得，BC=

AB2-AC2

22-12

，
∴线段BC扫过的图形的面积=

30•π•

360

π；

（2）由旋转的性质得，AC=CE₁，BC=CD₁，∠ACE₁=∠BCD₁，
∴△ACE₁∽△BCD₁，
∴△ACE₁与△BCD₁的面积比=（AC：BC）²=（1：

）²=1：3；

（3）DF=CD时，∠DCF=

（180°-30°）=75°，
∴∠BCD₁=90°-∠DCF=90°-75°=15°，
CF=DF时，∠DCF=∠D=30°，
∴∠BCD₁=90°-∠DCF=90°-30°=60°，
综上所述，n=15°或60°．
故答案为：（1）30°，

π，

π；（2）1：3；（3）15°或60°．

点评：本题考查了旋转的性质，弧长的计算，扇形的面积计算，相似三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质是解题的关键，（3）要注意分情况讨论．

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（3）点O运动的过程中，是否存在BP=MN的情况？若存在，请求出当BO为多长时BP=MN；若不存在，请说明理由．