Question

【题目】如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，D是AC上一点，且BD＝BC，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別是E，F，下列结论：①BD是∠ABC的平分线；②D是AC的中点；③DE垂直平分AB；④AB＝BC+CD；其中正确的结论是_____（填序号）．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠C=∠BDC=72°，利用外角性质可得∠ABD=36°，可得∠ABD=∠A=∠DBC=36°，根据等腰三角形的性质对各选项逐一判定即可得答案.

①∵∠A＝36°，AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C＝72°，

∵BD＝BC，

∴∠BDC＝∠C＝72°，

∵∠BDC＝∠A+∠ABD，

∴∠ABD＝36°，

∴∠ABD＝∠CBD=36°，即BD是∠ABC的平分线，①正确．

②∵∠A+∠ABD=36°，

∴AD＝BD，

∵BD≠CD，

∴AD≠CD，故②错误；

③∵∠ABD＝∠A＝36°，

∴AD＝BD，

∵DE⊥AB，

∴AE=BE，

∴DE垂直平分AB，③正确；

④由①③可知，AD＝BD＝BC，

∵AB＝AC，

∴AB＝AD+CD＝BC+CD，④正确；

综上所述，正确的结论有①③④，

故答案为：①③④．