Question

【题目】（1）观察推理：如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E．求证：△AEC≌△CDB；

（2）类比探究：如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB'，连接B′C，求△AB′C的面积.

（3）拓展提升：如图3，等边△EBC中，EC＝BC＝3cm，点O在BC上且OC＝2cm，动点P从点E沿射线EC以lcm/s速度运动，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF，设点P运动的时间为t秒．

①当t＝______秒时，OF∥ED.

②当t＝______秒时，点F恰好落在射线EB上．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2；（3）①1；②4

【解析】

（1）先利用等角的余角相等得到∠EAC＝∠BCD，根据“AAS”证明△AEC≌△CDB即可；（2）如图，作B′D⊥AC于D，利用等角的余角相等得到∠B＝∠B′AC，利用AAS可证明△B′AD≌△ABC，得到B′D＝AC＝2，然后根据三角形面积公式计算即可得答案；（3）①如图，由题意得EP＝t，则PC＝3﹣t，由平行线的性质可得∠FOC=BCE=60°，根可旋转的性质可得∠PQC=60°，可证明△COP是等边三角形，可得PC＝OC＝2，即可求t的值；②如图，利用旋转的性质得∠FOP＝120°，OP＝OF，利用外角性质及角的和差关系可得∠1=∠3，利用AAS可证明△BOF≌△CPO，可得PC＝OB＝1，则EP＝EC+PC＝4，然后计算点P运动的时间t即可．

（1）∵BD⊥l，AE⊥l，

∴∠AEC＝∠BDC＝90°，

∵∠EAC+∠ACE＝90°，∠BCD+∠ACE＝90°，

∴∠EAC＝∠BCD，

在△AEC和△CDB中，

∴△AEC≌△CDB（AAS）.

（2）如图，作B′D⊥AC于D，

∴∠ADB′=90°，

∵斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，

∴AB′＝AB，∠B′AB＝90°，即∠B′AC+∠BAC＝90°，

∵∠B+∠CAB＝90°，

∴∠B＝∠B′AC，

在△B′AD和△ABC中，

∴△B′AD≌△ABC（AAS），

∴B′D＝AC＝2，

∴△AB′C的面积＝AC·B′D=×2×2＝2.

（3）①如图，由题意得：EP＝t，则PC＝3﹣t，

∵OF∥ED

∴∠FOC=BCE，

∵线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF，

∴∠POF＝120°，

∴∠POC＝60°，

∵△BEC是等边三角形，

∴∠BCE＝60°

∴△COP是等边三角形，

∴PC＝OC＝2，

∴2＝3﹣t，

∴t＝1，

即当t＝1秒时，OF∥ED，

故答案为：1

②如图，∵OC＝2，

∴OB＝BC﹣OC＝1，

∵线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF，

∴∠FOP＝120°，OP＝OF，

∴∠1+∠2＝60°，

∵△BCE为等边三角形，

∴∠BCE＝∠CBE＝60°，

∴∠FBO＝120°，∠PCO＝120°，

∴∠2+∠3＝∠BCE＝60°，

∴∠1＝∠3，

在△BOF和△CPO，，

∴△BOF≌△CPO（AAS），

∴PC＝OB＝1，

∴EP＝EC+PC＝3+1＝4，

∴点P运动的时间t＝＝4s，

故答案为：4