Question

【题目】我们知道，三角形的三条角平分线交于一点，这个点称为三角形的内心(即三角形内切圆的圆心) . 现在规定，如果四边形的四条角平分线交于一点，我们把这个点称为“四边形的内心”．

问题提出

（1）如图1，在△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC的内心，若直线DE分别交边AC、BC于点D、E，且点O仍然为四边形ABED的内心，这样的直线DE可以画多少条?请在图1中画出一条符合条件的直线DE，并简要说明画法．

问题探究

（2）如图2，在△ABC中，∠C=90°， AC=3， BC=4，若满足(1)中条件的一条直线DE // AB，求此时线段DE的长；

问题解决

（3）如图3，在△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，问满足（1）中条件的线段DE是否存在最小值?如果存在，请求出这个值;如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）如图1，这样的直线DE可以画无数条；说明画法见解析；（2）DE=；（3）存在，DE有最小值2-2．

【解析】

（1）在AC上取点D，连接OD，作∠ODA'=∠ODA，DA'与BC交于点E，通过角平分线的性质定理和逆定理分析判断即可得到直线DE即为所求，所以这样的直线DE有无数条；
（2）由DE // AB，得到△CDE∽△CAB，通过题中数据计算即可；
（3）先求出∠DOE= 45°，然后作△ODE的外接圆⊙O'，作O'G⊥DE于点G，连接O'O，O'D， O'E，通过O'O+O'G≥ON，即可得到DE的最小值．

解：(1) 如图1，这样的直线DE可以画无数条.

在AC上取点D，连接OD，作∠ODA'=∠ODA，DA'与BC交于点E，

连接OC;如图2，作OP⊥AC于点P，OQ⊥AB于点Q，ON⊥DE于点N，

由角平分线可知OP=ON=OM，故OE也为∠DEM的平分线，所以直线DE即为所求.

(2)在图1中，由DE//AB,可知N、O、Q共线；作CH⊥AB于点H，交DE于点H'.

由AC·OP+ BC·OM +AB·OQ=AC·BC，有ON =OQ=OM=OP=l；

由DE // AB,有∠CDE=∠CAB，∠CED=∠CBA ，

从而△CDE∽△CAB，

故，

即，

解得DE=.

(3)存在.

图1中，易知四边形OPCM是正方形，△ODP≌△ODN , △OEM≌△OEN ,

从而可知∠DOE=∠POM= 45°.

如图3,作△ODE的外接圆⊙O'，作O'G⊥DE于点G，连接O'O，O'D， O'E；

由∠DO'E=2∠DOE=90°，有O'O=O'D=，O'G=；

由O'O+O'G≥ON，有+≥1，解得DE≥2-2，

∴DE有最小值2-2.