Question

已知：如图，中，，以为直径的⊙O交于点，

于点．

（1）求证：是⊙O的切线；

（2）若，求的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）由OB=OP可得∠B=∠OPB，由可得∠B=∠C，即可证得OP∥AC，再结合即可证得结论；

(2)连接AP，根据直径所对是圆周角是直角可得AP⊥BC，再根据等腰三角形的三线合一的性质可得BP=CP，最后利用含30°角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求得结果。

（1）∵OB=OP

∴∠B=∠OPB 

∵

∴∠B=∠C 

∴∠C=∠OPB

∴OP∥AC 

∴∠OPD=∠CDP=90°

∵OP是半径

∴是⊙O的切线；

(2)连接AP

∵AB是直径

∴AP⊥BC

∵

∴BP=CP，∠B=∠C

∵∠CAB=120°

∴∠B=∠C=30°

∴在Rt△ABP中，

在Rt△ABP中，

∴.

考点：本题考查的是切线的判定及性质，勾股定理

点评：解答本题的关键是熟记要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．