Question

【题目】如图，∠A=∠B=30°，P为AB中点，线段MV绕点P旋转，且M为射线AC上（不与点d重合）的任意一点，且N为射线BD上（不与点B重合）的一点，设∠BPN=α．

（1）求证：△APM≌△BPN；

（2）当MN=2BN时，求α的度数；

（3）若AB=4，60°≤α≤90°，直接写出△BPN的外心运动路线的长度。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）30°；（3）

【解析】

（1）由P为AB的中点，可得PA=PB，再由已知中∠A=∠B=30°，对顶角∠APM=∠BPN，根据ASA即可判定△APM≌△BPN；

（2）由（1）中结论可知PM=PN，即MN=2PN，由已知MN=2BN，可得BN=PN，根据等边对等角，即α=∠B=30°；

（3）当α=60°时，由∠B=30°，可知MN⊥BD，此时BP的中点为△BPN的外心，当α=90°时，由∠B=30°，此时BN的中点为△BPN的外心，根据三角形中位线定理可得△BPN的外心运动路线的长度为PN的一半，即为.

（1）证明：∵P是AB的中点，∴PA=PB ， 在△APM和△BPN中，

∴△APM≌△BPN（ASA）

（2）解：由（1）得：△APM≌△BPN ， ∴PM=PN ， ∴MN=2PN ， ∵MN=2BN ， ∴BN=PN ， ∴α=∠B=30°

（3）解：