Question

【题目】如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，点P从A出发在线段AD上以1个单位/秒向点D运动，点Q同时从点C出发，以1个单位/秒的速度向点A运动，当点P到达点D时，点Q也随之停止运动．

（1）设△APQ的面积为S，点P的运行时间为t，求S与t的函数关系式；

（2）t取几时S的值最大，最大值是多少？

（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）S＝﹣t2+3t（0＜t≤8）；（2）当t＝5时，△APQ的面积S取得最大值，为；（3）当t＝5或t＝或t＝ 时，△APQ是等腰三角形．

【解析】

（1）利用sin∠ACB=，得出sin∠PAQ=，即可得出QF=AQsin∠PAQ=（10-t），进而表示出△APQ的面积为S；

（2）利用二次函数最值求法运用配方法求出，得出最值；

（3）根据当AP=AQ时和当PA=PQ时当QA=QP时，分别得出t的值．

（1）在△ABC中，∵AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，

根据勾股定理得AC＝10，

∴sin∠ACB＝，同法可得sin∠PAQ＝，

过点Q作QF⊥AD于点F，

在Rt△AQF中，

∵AQ＝10﹣t，

∴QF＝AQsin∠PAQ＝（10﹣t），

∴S＝×t×（10﹣t），

即S＝﹣t2+3t（0＜t≤8）；

（2）∵S＝﹣（t2﹣10t+25）+＝﹣（t﹣5）2+，

当t＝5时，△APQ的面积S取得最大值，为；

（3）△APQ是等腰三角形，

①当AP＝AQ时，

t＝10﹣t，

则t＝5，

②当PA＝PQ时，作PE⊥AQ于E

∵cos∠OAQ＝，则AE＝t，

∴AQ＝t，

∴t+t＝10，

∴t＝，

③当QA＝QP时，作QF⊥AD于点F，

∴AF＝（10﹣t），

∴（10﹣t）＝t，

∴t＝，

综上所述，当t＝5或t＝或t＝时，△APQ是等腰三角形．