Question

观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）=x²﹣1，
（x﹣1）（x²+x+1）=x³﹣1，
（x﹣1）（x³+x²+x+1）=x⁴﹣1，
（x﹣1）（x⁴+x³+x²+x+1）=x⁵﹣1，
（1）根据前面各式的规律可得：（x﹣1）（xⁿ+x^n﹣1+…+x²+x+1）=　_________　（其中n为正整数）．
（2）根据（1）求1+2+2²+2³+…+2⁶²+2⁶³的值，并求出它的个位数字．

Answer 1

（1）xⁿ⁺¹﹣1   （2）5

试题分析：（1）根据各式的规律即可用n表示出结果；
（2）将所求式子乘以1，即2﹣1，利用上述规律即可得到结果；再由2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，…，个位数字分别为2，4，8，6循环，且64÷4=16，即可得出结果的个位数字．
解：（1）根据各式的规律可得：（x﹣1）（xⁿ+x^n﹣1+…+x²+x+1）=xⁿ⁺¹﹣1；
（2）根据各式的规律得：1+2+2²+2³+…+2⁶²+2⁶³=（2﹣1）（2⁶³+2⁶²+…+2³+2²+2+1）=2⁶⁴﹣1，
∵2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，…，且64÷4=16，
∴2⁶⁴个位上数字为6，
则1+2+2²+2³+…+2⁶²+2⁶³的个位数字为5．
故答案为：（1）xⁿ⁺¹﹣1．（2）5
点评：此题考查了平方差公式的应用，属于规律型试题，弄清题中的规律是解本题的关键．