Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，△CDE的顶点C点坐标为C（1，﹣2），点D的横坐标为，将△CDE绕点C旋转到△CBO，点D的对应点B在x轴的另一个交点为点A．

（1）图中，∠OCE等于∠_____；

（2）求抛物线的解析式；

（3）抛物线上是否存在点P，使S△PAE=S△CDE？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）BCD；（2）y=x2﹣x﹣；（3）存在；（1+，1）或（1﹣，1）或（1+，﹣1）或（1﹣，1）．

【解析】

（1）根据旋转的性质易得∠OCE=∠BCD；

（2）（2）作CH⊥OE于H，如图，根据旋转的性质得CO=CE，CB=CD，OB=DE，则利用等腰三角形的性质得OH=HE=1，则E点坐标为（2，0），设B（m，0），D（，n），再利用两点间的距离公式求得m、n的值，然后设顶点式y=a（x-1）2-2，再把B点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；

（3）先利用抛物线的对称性得到A（-1，0），再根据旋转的性质得△CDE≌△CBO，则S△CDE=S△CBO=3，设P（t，t2﹣t﹣），利用三角形面积公式得到关于t的方程，解关于t的一元二次方程求出t，从而可得到满足条件的P点坐标．

解：（1）∵△CDE绕点C旋转到△CBO，

∴∠OCE=∠BCD；

故答案为BCD；

（2）作CH⊥OE于H，如图，

∵△CDE绕点C旋转到△CBO，

∴CO=CE，CB=CD，OB=DE，

∴OH=HE=1，

∴OE=2，

∴E点坐标为（2，0），

设B（m，0），D（，n），

∵CD2=（1﹣）2+（﹣2﹣n）2 ， CB2=（1﹣m）2+22 ， DE2=（2﹣）2+n2 ，

∴（1﹣）2+（﹣2﹣n）2=（1﹣m）2+22 ， （2﹣）2+n2=m2 ，

∴m=3，n=﹣，

∴B（3，0），

设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，

把B（3，0）代入得4a﹣2=0，解得a=，

∴抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣2，即y=x2﹣x﹣；

（3）存在．

A与点B关于直线x=1对称，

∴A（﹣1，0），

∵△CDE绕点C旋转到△CBO，

∴△CDE≌△CBO，

∴S△CDE=S△CBO=23=3，

设P（t，t2﹣t﹣），

∵S△PAE=S△CDE ，

∴3|t2﹣t﹣|=3，

∴t2﹣t﹣=1或t2﹣t﹣=﹣1，

解方程t2﹣t﹣=1得t1=1+，t2=1﹣，此时P点坐标为（1+，1）或（1﹣，1）；

解方程t2﹣t﹣=﹣1得t1=1+，t2=1﹣，此时P点坐标为（1+span>，﹣1）或（1﹣，1）；

综上所述，满足条件的P点坐标为（1+，1）或（1﹣，1）或（1+，﹣1）或（1﹣，1）．