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(1)如图所示,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOD=120°,AB=6cm,求AC的长.

(2)如图所示,在四边形ABCD中,∠DAB=∠BCD=90°,O、M分别是AC、BD的中点,过点C作CN∥AM交MO的延长线于点N.

求证:四边形AMCN是菱形

答案:
解析:

(1)解:因为四边形ABCD为矩形.

所以AC=BDAO=BO=CO=DO

因为∠A0D=120°,所以∠AOB=60°,

所以△AOB为等边三角形.

所以AO=AB=6cm,所以AC=2AO=12cm

(2)证明:由AMCNOA=OC,∠AOM=COM,得△AOM和△CON关于O点中心对称,所以AM=CN.又因AMCN,所以四边形AMCN是平行四边形,又在RtABD中,AM是斜边BD上的中线,即得.同理可得,故AM=CM,所以平行四边形AMCN是菱形.


提示:

(1)矩形的两条对角线的夹角为60°,则矩形被对角线分成的四个三角形中有两个是等边三角形.

矩形的对角线把矩形分成了四个等腰三角形.

(2)要证AMCN是菱形,首先看适合哪一种判定方法,题中已给出CNAM,而O又是AC的中点,得△AOM和△CON关于O点中少对称,得M=CN,即四边形AMCN是平行四边形.再证一组邻边相等是问题的关键,而AMCM分别是RtABCRtBCD斜边BD上的中线,所以,问题即可证明.

应注意到四边形ABCD是由两个有公共斜边BD的直角三角形组成的.且AMCM是它们公共斜边BD上的中线,因此AM=CM


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xy
=
 

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